Потреба у вирішенні трикутників раніше всього виникла в астрономії, і протягом довгого часу тригонометрія розвивалася і вивчалася як один з відділів астрономії.
Наскільки відомо, способи вирішення трикутників (сферичних) вперше були письмово викладені грецьким астрономом Гиппархом в середині 2 століття до н.е. Найвищими досягненнями грецька тригонометрія зобов'язана астроному Птолемею (2 століття н.е.), творцеві геоцентричної системи світу, що панувала до М. Коперника.
Грецькі астрономи не знали синусів, косинусів і тангенсів. Замість таблиць цих величин вони вживали таблиці, що дозволяли знаходити хорду кола по стягують дузі. Дуги вимірювалися в градусах і хвилинах; хорди теж вимірювалися градусами (один градус становив шістдесяту частина радіуса), хвилинами і секундами. Це шістдесяткова підрозділ греки запозичили у вавилонян (см.II, §7)
Таблиці, складені Птолемеєм, містили хорди всіх дуг через кожні 1 ° / 2 *, обчислені з точністю до секунди. За допомогою інтерполяції по ним можна було знайти з тією ж точністю хорду будь дуги. (Для спрощення інтерполяції Птолемей дає поправки на 1 '.) При обчисленні таблиць Птолемей спирався на відкриту їм теорему про диагоналях вписаного чотирикутника (IV, Б, §19).
Значної висоти досягла тригонометрія і у індійських середньовічних астрономів. Як і греки, індійці запозичили вавилонське градусний вимір дуг. Але індійці розглядали не хорди дуг, а лінії синусів і косинусів (т. Е. Лінії РМ і ОР для дуги AM на рис. 1). Крім того, розглядалася лінія РА, що отримала пізніше в Європі назву «синус-верзус».
Мал. 1
За одиницю вимірювання відрізків МР, ОР, РА приймалася дугова хвилина. Так, лінія синуса дуги АВ = 90 ° є ОВ - радіус кола; дуга AL, рівна радіусу, містить (округлено) 57 ° 18 '= 3438'. Тому синус дуги 90 ° вважався рівним 3438 '.
Дійшли до нас індійські таблиці синусів (найдавніша складена в 4-5 столітті н. Е.) Не настільки точні, як Птолемеєві; вони складені через 3 ° 45 '(тобто через 1/24 частина дуги квадранта).
Подальший розвиток тригонометрія отримала в 9-14 століттях в працях арабомовних авторів. У 10 столітті багдадський вчений Мухаммед з Буджано, відомий під ім'ям Абу-ль-Вефа, приєднав до ліній синусів і косинусів лінії тангенсів, котангенсів, Секанс і косеканс. Він дає їм ті ж визначення, які містяться в наших підручниках. Абу-ль-Вефа встановлює також основні співвідношення між цими лініями (відповідні формулами §14). В руках знаменитого мусульманського вченого Насир ад-Діна з Туса (1201 -1274) тригонометрія стає самостійною науковою дисципліною. Насир ад-Дін систематично розглядав всі випадки вирішення плоских і сферичних трикутників і вказав ряд нових способів вирішення.
У 12 столітті був переведений з арабської мови на латинську ряд астрономічних робіт, і по ним вперше європейці познайомилися з трігонометріей2. Однак з багатьма досягненнями арабомовних науки європейцям не вдалося познайомитися своєчасно. Зокрема, їм залишилася невідомою робота Насир ад-Діна. Видатний німецький астроном 15 століття Региомонтан (1436-1476) через 200 років після Насир ад-Діна заново відкрив його теореми.
Региомонтан склав величезні таблиці синусів (через 1 хвилину з точністю до сьомої значущої цифри). Він вперше відступив від шістдесяткова поділу радіусу і за одиницю виміру лінії синуса прийняв одну десятимільйонну частина радіуса. Таким чином, синуси виражалися цілими числами (а не 60-річної дробом). До введення десяткових дробів залишався тільки один крок. Але він зажадав більше 100 років (см.II, § 31).
За таблицями Региомонтана відбулася низка інших, ще більш докладних. Друг Коперника Ретик (1514-1576) разом з кількома помічниками протягом 30 років працював над таблицями, закінченими і виданими в 1596 році його учнем Ото. Кути йшли через 10 ", а радіус ділився на 1 ТОВ ТОВ ТОВ ТОВ ТОВ частин, так що синуси мали 15 вірних цифр!
Буквені позначення (в алгебрі вони з'явилися в кінці 16 століття) утвердилися в тригонометрії лише в середині 18 століття завдяки російському академіку Л. Ейлера (1707-1783). Цей великий математик додав всієї тригонометрії її сучасний вигляд. Величини sin х, cos х і т.д. він розглядав як функції (VI, § 2) числа х - радіанної заходи відповідного кута. Ейлер давав числу х всілякі значення: позитивні, негативні і навіть комплексні. Він ввів і зворотні тригонометричні функції (§24).
*) Якщо взяти центральний кут, який спирається на половину даної дуги, то хорда буде подвоєною лінією синуса цього кута. Тому таблиця Птолемея рівносильна п'ятизначної таблиці значень синуса через 1 ° / 4.
2) В це «час з'явився латинський термін« синус », що означає« пазуха »або« кишеню ». Це - переклад арабського слова «Джейбіл», що має те ж значення. Як з'явився цей арабський термін, невідомо. Деякі вважають, що він стався з індійського (санскритського) слова «Жіа» або «жила» (перше значення - тятива; в геометрії - хорда). Але синус в індійській термінології іменується «ардха-Жіа», т. Е. Полухорда.
Назва «косинус» з'явилося тільки на початку 17 століття як скорочення найменування complementi sinus (синус доповнення), що вказує, що косинус кута А є синус кута, що доповнює кут А до 90 °. Найменування «тангенс» і «секанс» (в перекладі з латинської означають «дотична» і «січна») введені в 1583 році німецьким вченим Фінком.
