02. Висловлювання і логічні зв'язки

1. Контрольні питання до лекції №1

Багато математичні поняття зручно записувати у вигляді виразів, що містять деякі логічні символи. Так, символ , Званий Квантором спільності, використовується замість слів: «Для будь-якого», «Для всіх», «Яке б не було ...» і т. Д., А символ - Квантор існування - замість слів «Існує», «Чи знайдеться хоча б один ...», «Є» та т. Д.

Основний об'єкт математичної логіки - висловлювання. Висловлюванням називається оповідної пропозицію, яке може бути розцінена або як істинне, або як помилкове, але не як і те, і інше разом.

Зміст висловлювання несуттєво: аби цю пропозицію могло бути або істинним, або хибним. При цьому зовсім не обов'язково вказувати спосіб перевірки істинності. Головне, що висловлювання не може бути істинним і хибним одночасно. Якщо висловлювання істинно, будемо говорити, що його значення істинності - істина (або (Від англійського true); якщо - помилково, то значення істинності - брехня ( від false).

Висловлювання в математичній логіці зазвичай позначаються прописними літерами: , , і т. д. Для того щоб з висловлювань отримувати нові висловлювання, застосовуються спеціальні операції - Логічні зв'язки. Розглянемо п'ять основних логічних зв'язок. Спочатку дамо неформальне пояснення. Однак воно загрожує неточностями, тому дамо логічних операцій також суворе визначення. Визначити висловлювання - значить, вказати, в яких випадках воно істинне, а в яких помилково.

Заперечення - це висловлювання, яке виходить з даного висловлювання за допомогою слова «Не». Заперечення можна позначати по-різному: , , .

Просте додавання слова «Не» до висловлення найчастіше буде суперечити мовним нормам. Тому в конкретних випадках потрібно «переклад» отриманого висловлювання на російську мову. Нехай, наприклад, = «Завтра піде дощ». Що значить «Не (Завтра піде дощ)»: «Дощ піде не завтра», «Завтра піде не дощ» або «Завтра не піде дощ»? Здоровий глузд підказує, що запереченням висловлювання є третє речення. Щоб визначити точно, дамо формальне визначення заперечення.

запереченням висловлювання називається таке висловлювання, яке приймає значення (Помилково), якщо висловлювання істинно, і значення (Істинно), якщо висловлювання помилково.
У нашому прикладі цій умові задовольняє тільки третє речення. Отже, = «Завтра Чи не піде дощ».

Диз'юнкція - Це висловлювання, яке виходить з двухДанних висловлювань і за допомогою союзу «або». диз'юнкція Позначається .

Диз'юнкція будується за допомогою невиключає «або». Таким чином, диз'юнкція істинна, коли істинно, по крайней мере, одне з висловлювань і або обидва разом. Іншими словами, диз'юнкція помилкова в тому і тільки в тому випадку, коли обидва висловлювання помилкові.

Кон'юнкція - це висловлювання, яке виходить з двох даних висловлювань і за допомогою союзу «і». кон'юнкція позначається . кон'юнкція справедлива в тому і тільки в тому випадку, коли обидва висловлювання істинними.

Імплікація Утворюється з висловлювань і за допомогою слів «якщо ... то ...». Виходить висловлювання виду «якщо то ». Нагадаємо, що математична логіка носить формальний характер, змістом висловлювань вона не, займається.

На прикладі імплікації добре видно різницю між звичайною мовою і мовою логіки. У звичайній мові складне речення «якщо , то »Передбачає між і ставлення посилки і слідства, або ж причини і обумовленого нею чинності. У логіці імплікація пов'язує будь-які два висловлювання.

імплікація позначається , При цьому говорять: « тягне »Або« за умови, що »,« , якщо »,« є достатня умова для »,« є необхідною умовою для ».

Домовилися, що Імплікація помилкова в тому і тільки в тому випадку, коли висловлювання істинно, а висловлювання помилково. Таке визначення підказано здоровим глуздом: розумно вважати імплікації істинної, якщо істинно, незалежно від значення ; якщо обидва учасники імплікації помилкові, імплікація, природно, також істинна. В єдиному випадку, коли «передумова» імплікації істинна, а «висновок» хибна, імплікація вважається помилковою.

Еквіваленція утворюється з висловлювань і за допомогою слів «... тоді і тільки тоді, коли ...»:

затвердження « тоді і тільки тоді, коли »Не означає в логіці, що складові висловлювання і мають одне і те ж значення або один і той же зміст.

еквіваленція позначається . Синоніми для еквіваленціі: «якщо , то , і якщо , то »,« в тому і тільки в тому випадку, коли »,« І є необхідна і достатня умова для »,« є необхідна і достатня умова для ». Розумне визначення еквіваленціі: еквіваленція істинна в тому і тільки в тому випадку, коли висловлювання і мають однакове значення істинності (або обидва істинні, або обидва хибні).

Нові висловлювання (заперечення, диз'юнкція, кон'юнкція, імплікація і еквіваленція) утворюються з існуючих висловлювань за допомогою операцій, або логічних зв'язок, що мають ті ж назви.

У логіці, як і в арифметиці, операції діляться по старшинству. Це дозволяє при запису складних висловлювань уникати великої кількості дужок. Порядок виконання операцій такий: пріоритет має Заперечення, потім на одному рівні - Диз'юнкція і Кон'юнкція, наступна зв'язка - Імплікація і, нарешті, остання - еквіваленціі.

Контрольні питання до лекції №1

1. Поняття доказового міркування і правдоподібного міркування.

2. Метод математичної індукції.

3. Узагальнення, спеціалізація, аналогія.

4. Поняття логічної зв'язки.

5. Заперечення, диз'юнкція і кон'юнкція.

6. Поняття імплікації і еквіваленціі.