- Поширені геометричні форми
- Конічні і інші криві
- Геометрія в мистецтві
- Інші практичні застосування геометрії
- Золотий перетин
- Золотий перетин в мистецтві
- Золоте число в природі
- фрактали
- застосування фракталів
- Топологія і теорія графів
- Підведення Підсумків
Багато хто думає, що математика - складна, абстрактна, нудна, марна і далека від реального життя наука. Тому ви будете здивовані, дізнавшись, що геометрія - важливий розділ математики - з'явилася через необхідність вирішувати певні практичні завдання.
Вважається, що її придумали єгиптяни, яким потрібно було періодично розмічати землю, бо річка Ніл під час повеней постійно прала кордону. Справді з точки зору етимології слово геометрія означає «вимір землі».
Математика настільки практична, що небагато з навколишнього нас може без неї функціонувати. Від банків і магазинів, бірж і страхових компаній до штрих-кодів, прослуховування дисків і розмов по мобільному телефону - все це і багато іншого працює завдяки процесорам і математичних моделей, завдання яких - постійне виконання математичних операцій.
Різкий стрибок у розвитку технологій і науки стався в порівняно стислі терміни. Фізика, медицина, хімія, цивільне будівництво, архітектура, електроніка і освоєння космосу, а також багато інших областей знань, які спрощують нам життя, виявилися б нежиттєздатними без винайдених математикою методів, за допомогою яких розвивалися теоретичні моделі, на яких ґрунтуються їх дослідження.
Студенти зазвичай думають, що математика не має практичного застосування. Проте кожного разу, коли в наших руках виявляються гроші, ми виконуємо математичні операції. А геометрія, один з основних розділів математики, тісно пов'язана з нашим повсякденним життям. Наші будинки повні об'єктів, створених з використанням точних геометричних форм, хоча ми можемо цього і не усвідомлювати.
Поширені геометричні форми
Люди вперше зацікавилися геометричними формами, спостерігаючи за природою. Люди - творчі створення: велика частина тих, що оточують нас об'єктів прийняла геометричні обриси, які з яких не існують в природі.
геометрія присутній практично у всіх сферах нашого життя: нас оточують круглі, квадратні, прямокутні, трикутні, сферичні, кубічні, циліндричні, конічні і інші об'єкти.
Зазвичай ми не замислюємося про те, чому об'єкти мають ту чи іншу форму, а її вибір далеко не випадковий.
Одна з найпоширеніших форм - це коло і те, що нею обмежена, тобто коло. Ви, напевно, не замислювалися, чому труби - круглі в перерізі.
Одна з причин в тому, що коло - це замкнута дуга з постійною шириною. З цієї причини, наприклад, люки НЕ провалюються вниз, що призводило б до нещасних випадків, а якби вони були квадратними і прямокутними, це стало б неминучим.
Ще одна властивість кола: з усіх замкнутих кривих заданої довжини коло покриває найбільшу площу. Це пояснює той факт, що природа часто використовує коло і його об'ємний еквівалент - сферу . Природа завжди зупиняє вибір на найстабільніших формах, мінімально витрачають енергію.
Сфера повністю відповідає вимогам, оскільки вона володіє максимальним внутрішнім об'ємом на одиницю поверхні. Це одна з причин, по якій велика частина резервуарів має сферичну форму, а консервні банки, термоси і пляшки нагадують циліндри. Людина спробував поєднати мінімальну зовнішню поверхню і матеріалозатрати з максимальним внутрішнім об'ємом.
Небесні тіла великої маси, такі як зірки, планети і супутники теж сферичної форми. Сила тяжіння штовхає кожен атом до центру тіла. Згодом воно набуває сферичну форму, тому що саме в ній досягається максимальна концентрація маси при мінімальній площі зовнішньої поверхні.
Конічні і інші криві
Конічна крива виходить при перетині конуса площиною. Якщо площину горизонтальна, ми отримуємо коло. Якщо площину злегка нахилена - то еліпс . Якщо січна площина паралельна одній з дотичних площин конуса, то конічний перетин набирає вигляду параболи . Якщо площина паралельна двом утворюючим конуса (зокрема, коли січна площина паралельна осі конуса) - то буде гіпербола .
завдяки Кеплеру і Ньютону ми знаємо, що орбіти планет та інших небесних тіл еліптичні. Всі ці криві ближче до нашого життя, ніж ми думаємо. Наприклад, коли ми п'ємо воду з круглого склянки, перед самим нашим носом утворюється ... еліпс. Лампа хірурга теж еліптична, що дозволяє лікарю сфокусувати весь світ в певній точці.
Існує кілька еліптичних площ, наприклад, площа Святого Петра в Ватикані . Коли ми кидаємо м'яч, він описує параболу точно так, як ллється зі шланга вода. міст "Золоті ворота" в Сан-Франциско гордо демонструє свої параболи з 1937 року. Сонячні панелі, супутникові тарілки, фари машин і радіотелескопи - все це різні застосування нашого конічного перетину.
Завдяки своїй здатності, що відображає еліпси і параболи використовують в будівництві бань палаців і соборів, а також амфітеатрів , Щоб глядачі чітко чули акторів. «Зал секретів» Альгамбри в Гранаді і собор Святого Павла в Лондоні - чудові приклади цього акустичного властивості.
Коли ми докладаємо руку до вуха, щоб краще чути, ми несвідомо формуємо параболу в трьох вимірах.
Всі знають, що відбувається в машині, коли ми робимо крутий поворот, чи не скидаючи швидкості після довгого прямого ділянки. Не просто так криві розв'язок на шосе, а також рейки швидкісних поїздів мають знайому нам форму. Це крива під назвою клотоїда , Або спіраль Корню часто використовується в цивільному будівництві, оскільки вона дозволяє машинам зберігати на вигинах доріг постійну швидкість. При цьому водієві не доводиться боротися з кермом або відцентровою силою, чого не вдається уникнути гонщикам «Формули-1». В цьому випадку пасажири не відчувають дискомфорту, а небезпека нещасних випадків зведений до мінімуму.
циклоїда - це крива, що описується точкою кола, що котиться по прямій. У цій кривій багато дивовижних властивостей. Одне з них можна продемонструвати, перевернувши циклоиду і помістивши кілька рухомих об'єктів на різну висоту, чотири кульки, наприклад. Ми побачимо, що обидва вони досягнуть землі одночасно в незалежності від того, з якої точки почали шлях. Циклоїда - це крива якнайшвидшого спуску, тому трюки на скейтборді виходять більш видовищними на трампліні саме такої форми.
Лінії електропередач дуже схожі на параболу. Це форма, яку приймають під власною вагою канат або ланцюг, підвішені за два кінця.
Архітектурні властивості арки у формі параболи роблять її ідеальною математично. перевернута ланцюгова лінія - це арка, яка тримає сама себе і не вимагає ніяких додаткових опор. Ворота Сент-Луїса в Міссурі - прекрасний приклад такої арки. Знаменитий іспанський архітектор Гауді обожнював цю криву і використовував у багатьох своїх творах, наприклад, в Каса Міла у Барселоні.
Ще одна поширена геометрична форма - це спіраль . Ми бачимо її на горлечка пляшок, болтах, штопор, прищіпки, пружинах, гвинтових сходах, нитках розжарювання електричних ламп. навіть молекула ДНК являє собою подвійну спіраль.
Геометрія в мистецтві
Використання геометричних форм в мистецтві властиво всім цивілізаціям, особливо - ісламського світу. Один з найвидатніших прикладів геометричного мистецтва - це мозаїки Альгамбри в іспанській Гранаді. Взагалі, ісламські мозаїки - це видозмінені правильні багатокутники. Ще один з методів створення мозаїки - це обертання і накладення правильних багатокутників.
У 1891 році математик Федоров висунув теорію, яку назвуть на його честь. Вона говорить про те, що такий тип мозаїк складається з 17 основних структур, які називаються плоскими кристалографічними групами.
Альгамбра - єдиний пам'ятник, прикрашений 17 основними плоскими декоративними геометричними малюнками, що з'явився до Федорова. Таким чином, середньовічні арабські математики емпірично встановили те, що буде доведено лише через кілька століть.
Інші практичні застосування геометрії
Крім використання в мистецтві, геометрія має безліч практичних застосувань.
топографія - це геометрія, застосовувана для опису місцевості, на якій потрібно щось побудувати. Вона використовується для визначень і обчислень відстаней, кутів і інших параметрів, щоб мати можливість проводити роботи з максимальною точністю.
Цивільне будівництво та архітектура постійно використовують геометричні форми для проектування різного типу споруд, таких як мости, будівлі, водосховища, тунелі і автостради.
Винахід, яке сьогодні використовують у багатьох країнах - система глобального позиціонування , Яка працює за тим же принципом, що і інші подібні системи - європейська Галілео і російська ГЛОНАСС , І базується на законах геометрії і тригонометрії. Вона використовується в таких важливих областях, як телефонія, телебачення, мережі зв'язку, сільське господарство, пошук нафти і газу, морський, сухопутний і повітряний транспорт, і навіть замінила в наших машинах звичні карти.
Система GPS використовує мережу з 24 супутників, що обертаються навколо Землі на висоті 20 кілометрів. Навігатор GPS автоматично знаходить мінімум 4 супутника: три - щоб визначити місце розташування і четвертий - щоб компенсувати можливі відхилення. Він отримує інформацію про час становищі кожного з них. На підставі цих сигналів апарат синхронізує годинник GPS і обчислює затримку сигналу, тобто відстань до супутника. Використовуючи тріангуляцію, він визначає точне положення, використовуючи дані про віддаленість кожного супутника від точки, в якій проводиться вимір.
Математика розвивалася протягом тисячоліть, в основі її лежала необхідність вважати об'єкти і вимірювати форми. Це в свою чергу сприяло розвитку інших наук, які дозволили нам побачити навколишній світ з абсолютно іншого боку.
Математика - один з найпотужніших інструментів, винайдених людиною для пізнання навколишнього світу. Вона дозволяє описати еліптичні орбіти планет, виміряти площі ділянок і навіть розмір телевізійного екрана. Ми не бачимо субатомний світ і не можемо відчути, що таке мільйон років, але завдяки математиці вся реальність - і видима, і невидима - стала нам доступна.
Золотий перетин
Серед нас живе загадкове число. І хоча воно незнайоме здебільшого людей, його вплив на наше життя можна побачити в багатьох навколишніх нас формах. Золотий перетин , Або співвідношення, присутня всюди, навіть в самих незвичайних місцях. Хоча ця послідовність чисел не несе для нас ніякого особливого сенсу, золоте число, що позначається грецькою буквою φ (фі), тисячоліттями заворожувало художників і математиків.
Математики старовини і середньовіччя називали золотим перетином поділ відрізка, при якому довжина всього відрізка так відноситься до довжини його здебільшого, як довжина більшої частини до меншої. Це відношення приблизно дорівнює 0,618.
Чому деякі форми і об'єкти здаються нам більш гармонійними і привабливими, ніж інші?
Відповідь часто пов'язують із золотим перетином, яке ще називають золотим числом, божественної пропорцією, золотий пропорцією або ідеальної пропорцією.
Число фі тісно пов'язане з послідовністю Фібоначчі , В якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...).
Ця послідовність має приголомшливі властивостями. Одне з них полягає в тому, що при розподілі кожного її члена на попередній результат завжди буде являти собою нескінченну десяткове число, яке містичним чином наближається до числа фі.
Одне з чудових властивостей числа фі - його логарифмічна спіраль , Яка розгортається, використовуючи золоте число як геометричний індекс.
Золотий перетин в мистецтві
З давніх часів художники знали, що золотий перетин - це саме гармонійне і приємне для ока співвідношення.
Таким чином, не випадково піраміда Хеопса , Побудована не менше 46 століть назад, складається з незвичайних співвідношень, деякі з яких пов'язані з числом фі. Наприклад, відношення висоти трикутної боку до половини її підстави - не що інше, як золоте число. І якщо цього мало, відношення загальної площі до внутрішньої теж дорівнює золотому числу. Нарешті, якби ми розділили загальну площу чотирьох трикутних граней піраміди на площу її заснування, то отримали б 1,618, тобто знову золоте число.
Греки теж знали про золотом числі і використовували його в храмах і скульптурах. Взагалі, число фі названо так на честь знаменитого грецького скульптора Фідія . Пізніше багато художників, архітектори і скульптори, такі як Леонардо Да Вінчі , Мікеланджело , Дюрер , сірка і Далі , Застосовували число фі в своїх роботах. знаменитий архітектор ле Корбюзьє дуже любив золоте число. Він постійно використовував його, і не тільки в будівлях, а й в деяких інших своїх проектах.
В інших видах мистецтва, таких як поезія, музика і навіть кіно, золоте число вважається уособленням внутрішньої гармонії, що встановлює ритм і співвідношення між частинами в творах.
Навіть частота музичних нот - популярне до, ре, мі, фа, соль, ля, сі, до - в основі своїй має золоте число.
Легендарні скрипки Страдіварі - найцінніші музичні інструменти в історії, були створені з використанням золотої пропорції. Цьому вони зобов'язані незвичайними акустичними властивостями.
Золоте число присутній в п'ятикутної зірки .
Сьогодні багато компаній використовують принцип золотого перетину в логотипах, упаковці та продуктах, щоб зробити їх більш привабливими.
Золоте число і послідовність Фібоначчі присутній у великій кількості об'єктів: у формі деяких книг, кредитних карт і посвідчень особи в різних країнах.
Золоте число в природі
Якщо і є королівство числа фі, то це без сумніву сама природа. Тут золоте число присутня всюди і управляє безліччю процесів.
Можна подумати, що соняшники - генії у багатьох відношеннях, адже їх незліченні насіння розташовані таким чином, щоб максимально використовувати надану їм площа, не втрачаючи ні міліметра. Це відбувається завдяки тому, що вони викладені у вигляді двох пересічних спіралей справа наліво і навпаки. У невеликих суцвіть в спіралі по 34 і 55 насіння, у великих - по 55 і 89. Думаєте, ці комбінації випадково збігаються з числами в послідовності Фібоначчі?
Щось схоже відбувається з осередками в ананасах. У них 8 правобічних спіралей, 13 лівосторонніх і 21 вертикальна. Знову послідовність Фібоначчі.
Кількість пелюсток у багатьох суцвіттях збігається з числами з цієї послідовності. Гілки і листя рослин розташовані в такому порядку, щоб отримувати максимум світла. Листя розподілені по галузях у послідовності, заснованої на золотому числі. Завдяки цьому вони не заважають один одному.
Золоте число впливає на зростання раковин, таких як кораблики , Їх спіральна форма базується на числі фі. Ще воно керує ростом рогів деяких жуйних тварин.
Тропічні циклони і спіральні галактики, павутина, траєкторія, по якій хижі птахи пікірують на видобуток, мова метелики, хвости деяких мавп - все це випробувала на собі вплив спіралей і золотого числа.
У людському тілі теж присутня ця чарівна пропорція. Форма вуха являє собою логарифмічну спіраль, а відношення зростання до відстані від пупка до землі дивно близько до золотого числа. У наших руках співвідношення між фалангами пальців теж підпорядковується золотому числу. І як ніби цього мало. Якщо розділити довжину передпліччя на довжину долоні, то вийде, вгадайте, що? Всюдисуще золоте число.
фрактали
Ми звикли до традиційних форм евклідової геометрії , Знайомої нам вже 23 століття: лінії, прямокутники, кола, багатокутники на площині і т.д. І хоча це єдиний вид геометрії, з яким знайомі багато людей, евклідова геометрія - всього лише один з прикладів існуючих геометрій.
Природа зазвичай не виражає себе в симетричній або правильній формі, а евклідова геометрія не має необхідних інструментами, щоб вивчати її феномени. Наприклад, хмара може походити на сферу, але не є нею, деякі гори і пагорби нагадують конуси, але це не так, а річки і берегові лінії далекі від прямих ліній. Проте в творіннях природи прихований незримий порядок, і тих, хто зважиться придивитися до них уважніше, чекають сюрпризи.
Останні кілька десятиліть проводились дослідження нового незвичайного сімейства фігур, що поєднують мистецтво, хаос і геометрію, і що володіють приголомшливими властивостями. це фрактали .
Фрактали - це геометричні об'єкти, що мають неправильну і уявну хаотичною форму, елементи якої спрямовані в нескінченність. З цього причини фрактальную геометрію називають геометрією хаосу.
Якби ми аналізували фрактали, то побачили б фрагменти, що повторюються нескінченну кількість разів при зміні масштабу в незалежності від того, наскільки ми збільшимо фрактал, адже одне з основних його властивостей - це самоподоба.
При набліженні фрактала перед нами відкріваються інші світи. Нові фрагменти повторюються знову і знову до нескінченності.
застосування фракталів
Отримати фрактал досить просто. Фрактали засновані на застосуванні повторюваною, зазвичай досить простий математичної формули, кожен крок починається з результату попереднього. І всі вони пов'язані з колірним кодом - своїм для кожного типу результатів. Комп'ютери - ідеальні інструменти для проведення цих операцій.
безліч Мандельброта - класичний зразок фрактала. Незважаючи на нехитрий вид, це один з найскладніших існуючих математичних об'єктів. Підраховано, що його вивчення займе ціле життя.
Незважаючи на штучний, дивний і навіть психоделічний характер, фрактальную геометрію часто називають геометрією природи, оскільки вона присутня у величезній кількості оточуючих нас об'єктів: лист папороті, спалах блискавки, гілки та коріння дерев, наша сечостатева система, протоки печінки, мережа коронарних волокон, що передають електричні імпульси, артерії і капіляри в нашому тілі, бронхи ссавців, хмари і кольорова капуста, система нейронів, розподіл зірок у Всесвіті і кристали сніжинок. Все це і багато іншого - приклади фрактальних структур.
Фрактальна геометрія - це не просто уособлення естетики і математичної загадки, за допомогою фракталів багато фізики, хіміки, біологи і економісти вирішують складні завдання, старі відповіді постають перед ними в новому світлі.
Завдяки фракталам ми можемо точно виміряти довжину берегової лінії країни і визначити ступінь складчастості будь-якій поверхні - від кори дерева до, наприклад, цілої планети. Фрактали дозволили нам дізнатися, що поверхня Марса менш рівна, ніж поверхня Землі. У медицині фрактали допомагають розбиратися в судинній і нервовій системах. Фрактальна геометрія дозволяє нам вивчати мікроструктуру мінералів, а також проводити геологічні дослідження і знаходити родовища.
Ще її використовують в таких далеких один від одного областях, як складання планів міст, аналіз коливань цін на фондовому ринку, вивчення росту колоній бактерій і складання прогнозів прийдешніх землетрусів і торнадо.
Фрактальна геометрія - без сумніву, найцінніший інструмент для інтерпретації природи і аналізу здаються хаотичними явищ.
Топологія і теорія графів
Цим незвичним ім'ям охрестили один з розділів математики - топологію - прохання не плутати з топографією.
Топологія вивчає поведінку геометричних фігур при зміні їх структури з використанням певних правил. У топології кути і відстані не мають значення, навіть навпаки: можна роздувати, згинати, розтягувати і перевертати геометричні фігури, як ніби вони намальовані на гнучкій поверхні, наприклад, на гумовому аркуші. Однак, забороняється розділяти те, що було пов'язано і навпаки - з'єднувати окремі елементи. Іншими словами, перша і остання фігури повинні складатися з одного числа частин, з'єднань і порожнеч.
Таким чином, з точки зору топології трикутник - це те ж саме, що коло, квадрат або п'ятикутник, адже ми можемо нескінченно переходити від однієї фігури до іншої, нічого не вирізаючи і не вставляючи. А ось еліпс - не те ж саме, що пряма лінія, адже нам доведеться десь його розрізати. Окружність не може прийняти вид лемніскати , Відомого геометричного символу нескінченності, адже у вихідній фігурі немає ніяких перетинів.
З геометрією тісно пов'язана теорія графів . Граф - це безліч точок, які називаються вершинами, деякі з яких з'єднані між собою за допомогою ребер.
Топологія зародилася, коли Леонард Ейлер , Один з найталановитіших математиків в історії, розгадав загадку мостів Кенігсберга . У 1735 році він довів, що неможливо перетнути 7 мостів через річку Преголя і повернутися в початок шляху, не скориставшись хоча б одним мостом двічі. Для цього він використовував граф з чотирма вершин і сім'ю ребрами.
Напевно, ви ставите питанням: в чому сенс вирішення цієї дивної завдання? Проте з часом топології і теорії графів знайшлося безліч часом несподіваних застосувань. І вони значно спростили вирішення завдань, що виникають у міру розвитку нашого суспільства. Прикладом можуть служити телекомунікаційні мережі, стаціонарні і мобільні телефони, інтернет, цифрове телебачення і так далі, які не могли б функціонувати, якщо був не були належним чином організовані.
Інші застосування - це вивчення міських і міжміських транспортних мереж, маршрутів автобусів і трамваїв, складання діаграм, що визначають оптимальний потік і вирішують проблему «пробок». Вивчення електричних ланцюгів, аналіз поведінки молекул, структури веб-сайту, логістичне планування і взагалі створення різного роду зведених таблиць і діаграм.
Чотири століття тому Галілей сказав: «Книга природи написана мовою математики, її герої - трикутники, кола та інші геометричні фігури». Сьогодні його визначення як ніколи актуально.
Наука знаходить математичні структури у всіх природних явищах. Навіть ті, які, здавалося б, позбавлені будь-якої системи, підкоряються числовий моделі. Іноді нам потрібно всього лише заглянути трохи далі, і ми пізнаємо нові світи, які були там завжди, хоч ми і побачили їх уперше.
Ніщо не здається більш абстрактним і далеким від реального світу, ніж математика. Однак нам потрібно всього лише змінити перспективу, поглянути на навколишні об'єкти і навіть власне тіло іншими очима і зрозуміти, що числа і геометричні фігури пов'язані з нами набагато тісніше, ніж ми можемо припустити.
Підведення Підсумків
Розвиток технологій тісно пов'язане з усіма розділами математики. Математичні моделі сприяли розвитку таких наук, як фізика, медицина, електроніка, будівництво та архітектура.
У повсякденному житті ми часто-густо зустрічаємо об'єкти, утворені точними геометричними формами.
Окружність - це крива з постійною шириною. Для люків колодязів зазвичай використовують саме цю форму, щоб вони не провалювалися всередину.
Сфера - це об'єкт, що містить максимальний обсяг на одиницю поверхні, тому резервуари для води і нафти - зазвичай такої форми. Природа теж використовує сфери. Це найбільш стабільні форми, мінімально витрачають енергію. Подібну форму мають, наприклад, помідори. Мильні бульбашки, краплі олії в воді і планети - теж сфери.
Конічні криві виходять від перетину конуса площиною. Якщо площину горизонтальна - ми бачимо коло, якщо вона похила, то виходять еліпси, параболи і гіперболи.
Клотоїд - це крива, яка використовується при будівництві з'їздів і в'їздів на автостраду, вона дозволяє змінювати напрямок без неприємних відчуттів.
Циклоїда - це крива якнайшвидшого спуску. Її використовують скейтбордисти.
Ланцюгова лінія, або арка, яка тримає сама себе, застосовується в архітектурі.
Спіраль можна побачити в багатьох об'єктах. Навіть молекула ДНК - це подвійна спіраль.
Мозаїки Альгамбри - прекрасний приклад середньовічного мусульманського геометричного мистецтва.
Геометрія має безліч практичних застосувань. Топографія, цивільне будівництво та архітектура використовують цей розділ математики для зведення різних об'єктів.
Супутникові системи позиціонування, такі як Галілео, GPS і ГЛОНАСС, застосовують геометрію в своїх обчисленнях, будуючи уявні сфери і використовуючи тріангуляцію для визначення відстаней і кутів.
Геометрія, як і інші розділи математики, зародилася з практичних міркувань. Її з любов'ю розвивали, щоб вивчати форми. Сьогодні вона має величезну кількість практичних застосувань. Крім того, вона необхідна для опису Всесвіту.
Число φ (фі), присутнє в житті і природі, століттями заворожувало художників і вчених. Це число тісно пов'язане з послідовністю Фібоначчі, в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх.
Золотий перетин завжди вважалося найбільш приємним для ока співвідношенням. Єгиптяни використовували золоте число при будівництві піраміди Хеопса. Греки теж застосовували його в своїх творах. Пізніше це робили Леонардо да Вінчі, Дюрер, Сірка, Далі і Ле Корбюзьє. Музика, кіно і поезія теж використовують золоте число. Можна знайти кілька прикладів і в природі: в тому, як розподіляються насіння соняшнику і осередки ананаса, в розміщенні гілок і листя, в раковинах молюсків і рогах жуйних тварин. Наше тіло теж багато в чому підпорядковано золотому числу. Приклад тому - наші вуха, фаланги пальців, долоні і передпліччя.
Фрактали - це нове сімейство кривих, що утворюють неправильні геометричні фігури, проте всі вони мають внутрішню структуру, засновану на математичних моделях. Одне з головних властивостей фракталів - це їх самоподоба. Якщо ми збільшимо зображення, то побачимо, що його елементи повторюються знову і знову до нескінченності. Існує безліч прикладів фрактальних структур: блискавка, коріння і гілки дерев, наша кровоносна система, хмари, кольорова капуста і розподіл зірок у Всесвіті. Фрактали мають безліч застосувань в медицині, геології, економіці та прогнозуванні землетрусів і торнадо.
Топологія ґрунтується на вивченні геометричних фігур при зміні їх форми. Коріння її йдуть за часів шведського математика Ейлера, який розгадав загадку кенігсберзькими мостів. Серед завдань, для вирішення яких використовують топологію, можна назвати проектування телекомунікаційних мереж, вивчення електричних ланцюгів, логістичне планування, складання маршрутів руху міського транспорту і створення графіків і діаграм.
89. Думаєте, ці комбінації випадково збігаються з числами в послідовності Фібоначчі?
Якщо розділити довжину передпліччя на довжину долоні, то вийде, вгадайте, що?
