Хорезм (Аль-Хорезмі) МУХАММЕД ИБН МУСА
(Бл. 780-787 рр. - бл. 850 м)
Падіння Риму в середині V століття н. е. ознаменувало настання Середньовіччя. Вже до цього часу наукова діяльність в Римській імперії перебувала в занепаді. Середні ж століття охарактеризувалися періодом застою в науці всього християнського світу. Як це не прикро констатувати, але багато в чому цей застій був пов'язаний саме з поширенням християнства. У середньовічній Європі не було місця новим дослідженням, експериментам, відкриттів. При цьому, що здається дивним, діяльність більшості українських учених зводилася до вивчення праць античних авторів (тобто язичників). Особливим авторитетом користувалися роботи Аристотеля. На жаль, далеко не всім античним авторам так пощастило. За період Середньовіччя, ставши жертвою падіння інтересу до наук, загального невігластва, або просто про планомірне нищення, кануло в Лету величезну кількість стародавніх текстів. І таких втрат було б набагато більше, якби наукову естафету не підхопив вчені Близького і Середнього Сходу. Недарма багато праць античних авторів дійшли до нас тільки завдяки арабським перекладам. Але, на відміну від європейських колег, арабські вчені не обмежувалися перекладами і компіляція робіт більш ранніх авторів. Вони сміливо вносили в наукову картину світу дані, отримані ними самостійно. Одним з таких вчених, чий внесок в розвиток науки важко переоцінити, був Мухаммед ібн Муса аль-Хорезмі.
У VII-VIII століттях Арабський халіфат став могутньою державою, що простягалася від Ірану до Середземного моря. На перших порах, завойовуючи нові землі, араби виявляли вкрай вороже ставлення до культури народів, що їх населяють. Так, наприклад, в 712 році, захопивши Хорезм [4] , Араби знищили всю наукову літературу, а вчених піддали жорстокому винищенню. Але з часом на зміну цій політиці прийшло понад лояльне ставлення, а потім і інтерес до наукових і культурних досягнень завойованих народів.
Знаменитий герой казок «Тисячі і однієї ночі» халіф Гарун аль-Рашид (Харун Рашид) насправді був цілком історичною особистістю. Народився він за різними даними в період між 763-м і 766-м роками і належав до династії Аббасидів, які ведуть свій рід від Аббаса, дядька пророка Мухаммеда. У 786 році Гарун аль-Рашид став халіфом. Правління його цілком можна назвати освіченим: він був покровителем розвитку наук і освіти. Після смерті халіфа в 809 році двоє його синів - старший - аль-Амін і молодший - аль-Мамун (теж, як і батько, що став згодом героєм «Тисячі і однієї ночі») вступили в тривалу боротьбу за владу. У 813 році аль-Мамун переміг брата і став халіфом. Він успадкував бажання батька зробити Арабський халіфат освіченим державою. Аль-Мамун створив у Багдаді так званий «Будинок мудрості» - академію, в яку він запросив весь колір арабського наукового світу. При «Будинку мудрості» була також заснована велика бібліотека, в якій робилися переклади античних авторів на арабську мову. Саме завдяки цій бібліотеці і вченим, що працювали при ній, до наших днів дійшло безліч втрачених в Європі текстів древніх вчених. Також аль-Мамун побудував кілька обсерваторій, заклавши основи майбутнього процвітання астрономії в арабському світі.
Про життя Хорезми не збереглося практично ніякої інформації. Перш за все викликає суперечки місце народження вченого. Часто пишуть, що він був родом з Хорезма. Але оскільки такий висновок робиться тільки на підставі його прізвиська аль-Хорезмі, багато дослідників вважають, що вихідцями з Хорезма цілком могли бути його предки, і немає серйозних підстав приймати за основу версію про те, що він з'явився на світ саме в Хорезмі.
Відомо, що Хорезми жив і працював в Багдаді за часів правління халіфів аль-Мамуна, аль-Мутасима і аль-Васіка. У «Будинку мудрості» вчений працював в бібліотеці і у свій час навіть очолював її. Дата смерті Хорезми точно невідома. Передбачається, що він помер приблизно в 850 році в Багдаді.
Найважливішим працею Хорезми, яка дала потужний поштовх до розвитку математики, стала книга «Кітаб аль-джебр валь-мукабала» ( «Книга про відновлення та зіставлення»). Частина її назви «аль-джебр» згодом трансформувалася в настільки знайоме нам зі шкільної лави слово «алгебра». Навіть саме ім'я аль-Хорезмі, зазнавши зміни при перекладі на латину, теж врешті-решт стало всім знайомим терміном «алгоритм». «Книга про відновлення та зіставлення» отримала свою назву від основних дій, які автор використовував при вирішенні математичних рівнянь. Трактат цей був написаний на замовлення аль-Мамуна, а вибір учасника свідчить про те, що вже до моменту початку роботи над книгою Хорезми сміливо можна було назвати одним з найвидатніших учених свого часу. Тож не дивно, що книга має посвяту аль-Мамун.
«Книга про відновлення та зіставлення» в основному присвячена вирішенню рівнянь першого та другого ступеня і застосування математичних законів на практиці. Ось, наприклад, цитата, добре демонструє практичну спрямованість книги: «Найбільш легкі і корисні навички арифметики, наприклад, те, що постійно потрібно людині в справах успадкування, отримання спадщини, поділу майна, судових розглядах, торгових відносинах або при вимірюванні земельних ділянок, риття каналів, геометричних обчисленнях, а також в інших випадках ». Тож не дивно, що невідоме в рівнянні автор називає «річчю», а його квадрат - «майном».
Спочатку своєї книги Хорезми дає визначення натуральним числам та розглядає десяткову систему числення: «Коли я подумав над тим, що люди в основному намагаються знайти в результаті обчислень, я зрозумів, що це завжди якесь число. Також я відзначив, що кожне число складається з розрядів і може бути розділене на розряди. Більш того, я виявив, що кожне число від 1 до 9 може бути виражено однією цифрою. Далі десятки подвоюються і потроюються, також, як раніше одиниці. Так з'являються «двадцять», «тридцять» і так далі до ста. Потім, подібно одиницям і десяткам, подвоюються і потроюються сотні до тисячі; ... і так далі до останньої межі обчислення ».
Звичайно, сучасній людині, з раннього дитинства знайомому з десятковою системою, подібні пояснення можуть здатися наївними, але за часів Хорезми далеко не для всіх ця система була так очевидна. Крім того, в даному випадку цінність представляє не сама пояснення, а узагальнення, яке робить автор.
Далі Хорезми пише про методи вирішення різних рівнянь. Він наводить все рівняння до однієї з шести стандартних форм:
- квадрати рівні коріння: ax 2 = bx;
- квадрати рівні числам: ax 2 = c;
- коріння рівні числам: bx = c;
- квадрати і коріння рівні числам: x 2 + bx = c;
- квадрати і числа рівні коріння: x 2 + c = bx;
- коріння і числа рівні квадратах: x 2 = bx + c.
Приведення рівнянь автор пропонує здійснювати методами «аль-джебр» і «валь-мукабала» (відновлення і протиставлення). Під відновленням він розуміє перенесення віднімаються членів з однієї частини рівняння в іншу, під протиставленням - скорочення в обох частинах рівняння рівних членів.
Наприклад, розглянемо рівняння:
x 2 + 5 x - 7 = 9 x.
Після операції відновлення, рівняння набуде вигляду:
x 2 + 5 x = 9 x + 7
Тепер, застосувавши протиставлення, отримуємо:
x 2 = 4 x + 7.
Для рівнянь виду x 2 + з = bx Хорезми призводить таке рішення:
x = b / 2 + - b / 2) 2 c),
при цьому він вказує, що рішення неможливо, якщо c> (b / 2) 2.
Звичайно ж, в наш час такі перетворення одкровенням не є. Крім того, на перший погляд, людині, хоч трохи знайомому з математикою, процедура відновлення взагалі в ряді випадків здасться безглуздою. Але тут потрібно враховувати кілька обставин. Не можна забувати про те, що всі свої обчислення Хорезми проводив у словесній формі, без використання математичних знаків. Природно, що це серйозно ускладнювало сам процес обчислень і математичних перетворень. Що ж стосується прийому «відновлення», то його введення, швидше за все, продиктовано двома факторами. Математики часів Хорезми не визнавали існування негативних величин. «Відновлення» дозволяло привести рівняння до такого виду, щоб обидві його частини були позитивними. Крім того, за допомогою цього прийому рівняння можна було привести до одного з шести канонічних видів, алгоритм вирішення яких заздалегідь відомий. Таким чином, можна сказати, що, запропонувавши свої алгебраїчні методи вирішення рівнянь, Хорезми зміг звести більшість задач до якоїсь стандартної формі, абстрагуючись від конкретних умов.
Потім математик знайомить читача з алгоритмами рішення рівнянь, приведених до стандартного вигляду. Вирішувати такі завдання вміли ще давньогрецькі вчені. Але вони робили це виключно за допомогою геометричних методів. Одна з основних заслуг Хорезми полягає в тому, що він у своїй роботі вперше став користуватися виключно алгебраїчними методами, приводячи геометричні рішення рівнянь тільки для доведення правильності своїх обчислень.
Далі Хорезми розглядає можливість застосування арифметичних дій до алгебраїчних виразів. Наприклад, він демонструє, яким чином слід множити вираз типу: (a + bx) (c + dx).
Наступна частина «Книги про відновлення та зіставлення» містить приклади використання методів, викладених вище, для обчислення площ і об'ємів геометричних фігур і тіл.
Заключний розділ книги ще раз підкреслює її практичну спрямованість. У ньому розглядаються складні ісламські закони успадкування майна. Правда, з точки ж зору математики цей розділ особливого інтересу не представляє, тому що використовувані в ньому розрахунки рідко виходять за рамки лінійних рівнянь.
До достоїнств «Книги про відновлення та зіставлення» слід віднести і більш точне, ніж у попередніх авторів, визначення числа я. Так Архімед дляточное значення числа: 3,1416. Як бачимо, це значення в точності збігається з істинним (3,141592), беручи до уваги округлення до чотирьох знаків після коми. Правда, дослідники вважають, що це значення отримано не самим Хорезми, а взято їм з якогось більш раннього, швидше за все, грецького джерела.
Крім «Кітаб аль-джебр валь-мукабала» до наших днів дійшли відомості ще про декілька працях Хорезмі. Так, він написав трактат про індо-арабських цифрах. У цій роботі Хорезми описує індуську систему обчислення, засновану на використанні цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 і 0. Ймовірно, саме Хорезми вперше використав нуль як позначає розряд символу. Оригінальний текст цієї книги був загублений, і вона дійшла до нас в латинському перекладі «Algoritmi de num'ero Indorum». Саме завдяки цим переказом ім'я Хорезми і перетворилося, як ми вже згадували, в термін «алгоритм».
Як і більшість вчених тих років, Хорезми не обмежувався тільки математикою. Він також був одним з найвідоміших астрономів свого часу. Їм було складено «зіджей ас-Сінд-Хінд» (не слід плутати цю працю з «зіджі» Улугбека). Ця робота була заснована на тексті, який ще в 770 році був піднесений індійськими послами в числі подарунків Багдадському двору. Пізніше дані цього тексту були доповнені і оброблені за допомогою власних спостережень Хорезми і його колег. Також дослідники припускають, що Хорезми був знайомий з «Альмагест» Птолемея, і це вплинуло на форму, в якій вчений склав «зіджей». У книгу входять відомості про календарях, опису методів визначення положення Сонця, Місяця і планет, міркування про сферичної астрономії, астрологічні таблиці обчислення строків затемнень, таблиці синусів і тангенсів.
Також Хорезми належить два трактату про астролябії, трактат про сонячний годинник, робота про іудейському календарі, політична історія, в яку увійшли гороскопи відомих людей.
На особливу увагу заслуговує книга Хорезми, присвячена географії. У ній вказані координати 2402 географічних об'єктів. При роботі над цією книгою вчений, швидше за все, користувався «Географією» Птолемея. Про це свідчить те, що дані про європейських об'єктах, які наводить Хорезми, збігаються з такими у Птолемея. При цьому координати тих топонімів, які перебували в більш доступних для арабських дослідників місцевостях, вказані значно точніше.
У наш час багато дослідників сумніваються в пріоритетності тих чи інших математичних викладок Хорезми. Дійсно, не виключено, що в своїх працях арабський учений використовував результати, отримані деякими попередниками, роботи яких до наших днів не дійшли. Але це ні в якому разі не применшує достоїнств аль-Хорезмі як вченого. Роль, яку зіграла «Книга про відновлення та зіставлення» для розвитку математики, просто неможливо переоцінити. Протягом декількох століть книга ця залишалася основним керівництвом з алгебри для вчених Європи та Азії. Недарма такі відомі математики, як Фібоначчі, Пачіолі, Тарталья, Кардано, Феррарі в своїх роботах зверталися до латинського перекладу основного праці Хорезми.
