/ Неевклідові геометрії / Виникнення неевклідової геометрії Лобачевського / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Неевклидова геометрія Лобачевського і абсолютна геометрія. Багато спроби докази V постулату проводилися за схемою "докази від протилежного", т. Е. Передбачалося, що V постулат не має місця, і робився ряд висновків, що мають місце в цьому випадку. Якби при цьому вдалося прийти до протиріччя, то V постулат був би доведений. Цим шляхом йшли згадані вище Хасан Ібн Аль-Хайсам і Омар Хайям, а також багато в чому слідували за Хайямом азербайджанський математик XIII століття Насир ад-Дін ат-Тусі, італійський математик XVII-XVIII століть Джироламо Саккери і німецький математик XVIII століття Іоганн Генріх Ламберт . При цьому було накопичено багато фактів, які мали б місце в геометрії, в якій вірні всі аксіоми геометрії Евкліда, крім аксіоми про паралельність, а остання невірна. Особливо багато дивовижних теорем, які мали б місце в такій "геометрії", якби тільки вона була можлива, отримав І.Г. Ламберт. Однак ніхто з перерахованих вище математиків не допускав і думки про те, що, крім геометрії Евкліда, можлива інша несуперечлива геометрія. У більшості випадків все їх побудови завершувалися тим, що явно або неявно застосовувалася аксіома, яка містить твердження, рівносильне V постулату, в результаті чого і виявлялося протиріччя. Однак сьогодні ми цінуємо згадані дослідження як заклали початку неевклідової геометрії Лобачевського. Під цією назвою розуміється та сукупність теорем, яка може бути виведена з системи аксіом, одержуваної, якщо замінити аксіому паралельних евклідової геометрії протилежним твердженням: в площині через точку A, що не належить прямій a, можна провести більше однієї прямої, що не перетинаються з a (див . Рис. 14).
Ця геометрична система носить ім'я Миколи Івановича Лобачевського, професора і ректора Казанського університету. Незалежно від нього, існування нової геометрії встановили великий німецький математик Карл Фрідріх Гаус і чудовий угорський математик Янош Бойяи, сун Фаркаша Бойяи. Названі три учасника спочатку йшли тим шляхом, який ми вказали вище. Прагнучи довести V постулат від протилежного, вони глибоко розвинули аксіоматичну систему, яка утворюється при запереченні істинності V постулату *, але не виявили при цьому ніяких протиріч. Однак, на противагу своїм попередникам, ці три великих математика зробили з отриманих ними результатів висновок про існування геометричної системи, відмінної від евклідової. При цьому вони продовжували досліджувати нову геометрію, отримуючи подальші пов'язані з нею теореми. Мабуть, Гаус володів основними ідеями нової геометрії вже на початку 10-х років минулого століття; однак, боячись бути незрозумілим, він нікому не повідомив про своє чудове відкриття. Мужніше надійшли Н.І. Лобачевський і Я. Бойяи, які опублікували перші роботи, показували б істота неевклідової геометрії, і відстоювали свої ідеї. Перша публікація в цьому напрямку належить Лобачевському, надрукувало в 1829 році в журналі "Казанський вісник" статтю "Про основи геометрії". Слідом за цим Лобачевський надрукував багато інших статей і книг, широко розкривають зміст відкритої їм геометричній системи. Я. Бойяи опублікував своє відкриття в 1832 році у вигляді додатку ( "Appendix") до великого твору свого батька. Цей короткий мемуар гідно вважається одним з чудових творів світової математичної літератури.
________________________________
* Зауважимо, втім, що повна система аксіом геометрії Евкліда була встановлена лише на рубежі XIX і XX століть, так що все побудови Лобачевського, Гауса і Бойяи не є чисто дедуктивним.
- 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 -
