повільним кроком

повільним кроком

І через сто років після смерті Ейлера існували докази тільки в двох окремих випадках Великої теореми Ферма. Сам Ферма дав математикам фору, залишивши їм доказ того, що рівняння

x 4 + y 4 = z 4

не має рішень в цілих числах. Ейлер використовуючи запропонований Ферма метод нескінченного спуску, довів, що рівняння

x 3 + y 3 = z 3

також не має рішень в цілих числах. Після Ейлера все ще залишалося необхідно довести, що нескінченний набір рівнянь

x 5 + y 5 = z 5,

x 6 + y 6 = z 6,

x 7 + y 7 = z 7,

x 8 + y 8 = z 8,

x 9 + y 9 = z 9,

. . . . . .

не має рішень в цілих числах. І хоча математики просувалися разюче повільно, ситуація складалася далеко не так погано, як могло б здатися на перший погляд. Виявилося, що доказ для випадку n = 4 залишається в силі при n = 8, 12, 16, 20 .... Справа в тому, що будь-яке число, представимое у вигляді 8-й (а також 12-й, 16-й, 20-й ...) ступеня деякого числа, представимо і у вигляді 4-го ступеня якогось іншого цілого числа. Наприклад, число 256 одно 28, але воно також і 44. Отже, будь-який доказ, яке «працює» для 4-го ступеня, залишається в силі для 8-й і будь-який інший ступеня, кратною 4. На основі того ж принципу можна стверджувати , що ейлеровское доказ для n = 3 автоматично переноситься на n = 6, 9, 12, 15 .... Тим самим Велика теорема Ферма втратила свій неприступний вигляд і виявилася вірною відразу для багатьох чисел n.

Особливо цінним було доказ при n = 3, так як число 3 - приклад так званого простого числа. Як ми вже пояснювали, просте число володіє тим відмітною властивістю, що воно не кратно жодному цілому числу, крім 1 і самого себе. Крім уже названого числа 3 простими також є числа 5,7,11,13 ... Всі інші числа кратні простим і називаються складовими числами. Ті, хто займається теорією чисел, вважають прості числа найбільш важливими тому, що ті представляють собою як би атоми чисел. Прості числа - «цеглинки», з яких побудовані всі інші числа, оскільки ті можна отримати як твори різних комбінацій простих чисел. Здавалося б, ця обставина відкриває шлях до вирішення проблеми Ферма. Щоб довести Велику теорему Ферма при всіх значеннях n, досить довести її для простих значень n. У всіх інших випадках числа n кратні простим числам, і доказ випливає з уже розглянутих випадків.

Інтуїтивно це надзвичайно спрощує проблему, так як дає можливість виключити з розгляду всі значення n, які не є простими числами. Різко скорочується число рівнянь. Наприклад, при значеннях n до 20 доказ слід провести тільки для шести рівнянь:

x 5 + y 5 = z 5,

x 7 + y 7 = z 7,

x 11 + y 11 = z 11,

x 13 + y 13 = z 13,

x 17 + y 17 = z 17,

x 19 + y 19 = z 19.

Якби кому-небудь вдалося довести Велику теорему Ферма для одних лише простих значень n, то вона виявилася б доведеною для всіх значень n. Цілих чисел нескінченно багато, прості ж числа становлять лише їх незначну частку. Можливо, теорема Ферма стане набагато простіше, якщо доводити її тільки для простих чисел?

Інтуїція підказує, що якщо ви почнете з якоюсь безкінечною величини і вилучіть з неї б'oльшую частина, то у вас залишиться щось кінцеве. На жаль, інтуїція не може служити арбітром істини в математиці. Роль арбітра виконує логіка. Виявляється, можна довести, що перелік простих чисел нескінченний. Отже, незважаючи на те, що ми можемо виключити з розгляду переважна більшість рівнянь при складених значеннях n, кількість рівнянь Ферма з простими значеннями n і раніше залишається нескінченним.

Доказ того, що простих чисел нескінченно багато, сходить до Евклиду і належить до числа класичних міркувань в математиці. Евклід починає з припущення про те, що перелік відомих простих чисел кінцевий, і доводить, що в цей перелік доведеться вносити нескінченно багато доповнень. Справді, припустимо, що в кінцевий вихідний перелік Евкліда внесено N простих чисел, які ми позначимо P 1, P 2, P 3 ..., PN. З них Евклід утворює нове число QA, таке, що

QA = (P 1 · P 2 · P 3 · ... · PN) + 1.

Яке воно, нове число QA, - просте або складене? Якщо воно просте, то нам вдалося побудувати нове просте число, більше, ніж будь-яке просте число, вказане в вихідному переліку. Це означало б, що вихідний перелік не повний. З іншого боку, якщо число QA складене, то воно повинно без залишку ділитися на якесь із простих чисел. Це просте число-дільник не може бути одним з чисел, включених в вихідний перелік, так як при розподілі на будь-який з уже перерахованих простих чисел QA дає залишок, що дорівнює 1. Отже, делителем числа QA повинно бути якесь нове просте число, яке ми позначимо PN +1.

Отже, ми прийшли до того, що або QA саме є простим числом, або ділиться на якесь нове просте число PN +1. І в тому, і в іншому випадку вихідний список простих чисел необхідно доповнити. Включивши наше нове просте число (QA або PN +1) в перелік, ми можемо повторити міркування і утворити нове число QB. Це нове число або буде ще одним новим простим числом, або буде ділитися на просте число PN +2, ще не включене в наш перелік відомих простих чисел. Підсумком цього міркування є висновок, згідно з яким хоч би довгим не був наш перелік простих чисел, його завжди можна доповнити новим простим числом. Отже, наш перелік ніколи не скінчиться - він нескінченний.

Але як може бути щось, явно менше нескінченної величини, також бути нескінченним? Німецький математик Давид Гільберт сказав одного разу: «Нескінченність! Жодне питання не чинив такого глибокого впливу на людський дух, жодна ідея не стимулювала настільки плідно інтелект людини, і тим не менш ні одне поняття не потребує проясненні так сильно, як поняття нескінченності ». Щоб розв'язати парадокс нескінченності, необхідно визначити, що слід розуміти під нескінченністю. Георг Кантор, який працював над проблемою нескінченності поряд з Гильбертом, визначив нескінченність як довжину нескінченного переліку натуральних чисел (1,2,3,4 ...). За Кантору, все, що за величиною порівняно з довжиною переліку натуральних чисел, також нескінченно.

Слідуючи цьому визначенню, нам доведеться визнати, що безліч парних натуральних чисел, яке інтуїтивно здається менше, ніж безліч всіх натуральних чисел, також нескінченно. Неважко довести, що всіх натуральних чисел стільки ж, скільки парних натуральних чисел, оскільки кожному натуральному числу можна підібрати пару - відповідне парне число:

Коль скоро кожному елементу переліку натуральних чисел можна поставити у відповідність елемент переліку парних чисел, то обидва переліку повинні бути однакової довжини. Такий метод порівняння призводить до деяких дивним висновків, в тому числі до висновку про існування нескінченно багатьох простих чисел. Кантор був першим, хто зайнявся формальним аналізом поняття нескінченності, і математичне співтовариство піддало його теорію множин різкій критиці за радикальне визначення нескінченності, запропоноване їм. До кінця творчого періоду Кантора нападки на нього стали приймати все більш особистий характер і привели до важкої душевної хвороби і глибокої депресії Кантора. Його ідеї отримали визнання вже після його смерті як єдино послідовне і ефективне визначення нескінченності. Віддаючи належне заслугам Кантора, Гільберт сказав: «Ніхто не може вигнати нас з раю, який Кантор створив для нас».

Гільберт належить приклад нескінченності, відомий під назвою «готель Гільберта» і наочно ілюструє незвичайні властивості нескінченності. Цей гіпотетичний готель має відмітною ознакою: кількість кімнат в цьому готелі одно нескінченності. Одного разу в готель прибуває новий гість і на своє розчарування дізнається, що, незважаючи на нескінченно велику кількість номерів, вільних місць немає. Гільберт, який виступає в ролі портьє, поміркувавши трохи, запевняє нового гостя, що знайде для нього вільний номер. Він просить кожного постояльця переселитися в сусідній номер: постояльця з номера 1 переселитися в номер 2, постояльця з номера 2 - переселитися в номер 3, і т. Д. Кожен з постояльців, які жили в готелі, отримує новий номер, а новий гість поселяється в звільнився номер 1. Це показує, що нескінченність плюс один дорівнює нескінченності. [7]

На наступний вечір портьє Гільберт зіткнувся з набагато більш важкою проблемою. Як і напередодні, готель був переповнений, коли прибув нескінченно довгий лімузин, з якого висадилося нескінченно багато нових гостей. Але Гільберта це анітрохи не збентежило, і він тільки радісно потирав руки від згадки про нескінченно багатьох рахунках, які оплатять новоприбулі. Всіх, хто вже влаштувався в готелі, Гільберт попросив переселитися, дотримуючись наступне правило: мешканця першого номера - у другій номер, мешканця другого номера-в четвертий номер, і т. Д., Тобто кожного постояльця Гільберт попросив перейти в новий номер з удвічі великим «адресою». Всі, хто жив в готелі до прибуття нових гостей, залишився в готелі, але при цьому звільнилося нескінченно багато номерів (все ті, «адреси» яких непарні), в яких спритний портьє розселив нових гостей. Цей приклад показує, що подвоєна нескінченність також дорівнює нескінченності.

Можливо, готель Гільберта наведе кого-небудь на думку, що все нескінченності однаково великі, рівні один одному, і що будь-які різні нескінченності можна втиснути в номери одного і того ж нескінченного готелю, як це робив спритний портьє. Але в дійсності одні нескінченності більше інших. Наприклад, будь-яка спроба знайти в пару кожному раціональному числу ірраціональне число так, щоб жодне ірраціональне число не залишилося без своєї раціональної пари, неодмінно закінчується невдачею. І дійсно, можна довести, що безліч ірраціональних чисел більше нескінченної кількості раціональних чисел. Математикам довелося створити цілу систему позначень і назв з нескінченної шкалою нескінченностей, і маніпулювання з цими поняттями - одна з найбільш гострих проблем нашого часу.

Хоча нескінченність кількості простих чисел назавжди зруйнувала надії на швидке доказ Великої теореми Ферма, такий великий запас простих чисел у нагоді, наприклад, в таких областях як шпигунство або дослідження життя комах. Перш ніж ми повернемося до розповіді про пошук докази Великої теореми Ферма, доречно трохи відволіктися і познайомитися з тим, як правильно і неправильно використовуються прості числа.