5. Практичне застосування геометрії Лобачевського.
1) Теорема Піфагора.
Теорема. Для будь-якого прямокутного трикутника площині Лобачевського виконується рівність ch c = ch a · ch b, де a, b - довжини катетів, c - довжина гіпотенузи цього трикутника, а ch x = 
(Гіперболічний косинус).
Доведення. Скористаємося моделлю Пуанкаре площині Лобачевського на евклідової півплощині. Будемо вважати (див. Малюнок нижче), що вершин A, B, C даного прямокутного трикутника відповідають комплексні числа 
де 
так як цього завжди можна домогтися за допомогою деякого неевклидова руху.
використовуючи формулу
для обчислення неевклидова відстані між точками z і w в H2, отримуємо, що
Почленное множення двох перших співвідношень і призводить, як показує третій співвідношення, до завершення доведення теореми.
2) Зауваження до теоремі Піфагора М.І.Лобачевського було помічено, що створена ним неевклидова геометрія в нескінченно малому, тобто в першому наближенні, збігається з геометрією Евкліда площині. Проілюструємо це на прикладі теореми Піфагора. Використовуючи розкладання гіперболічного косинуса в ряд
отримаємо для теореми Піфагора співвідношення
Виключаючи тепер члени нижчого порядку, приходимо до теореми Піфагора геометрії Евкліда:
3) Площа трикутника
Докладний висновок формули площі трикутника на площині Лобачевського я наводити не буду через його складність (в ньому використовується формули, доказувані лише в курсі диференціальної геометрії).
Якщо ABC - трикутник в моделі Пуанкаре, заходи кутів A, B і C - α, β і γ відповідно, 
- міра кута B в трикутнику ABD, а 
і 
міра кутів B і C в трикутнику BCD. тоді 
Внаслідок цього можна сформулювати теорему
Теорема.Для площі трикутника ABC з кутами 
справедлива формула
Следствіе1.Площадь трикутника площині Лобачевського обмежена.
Слідство 2.Якщо дан опуклий багатокутник 
з внутрішніми кутами 
то 
4) Довжина кола і площа круга.
Теорема. Площа круга з радіусом r дорівнює 
а довжина кола, що обмежує це коло, дорівнює 
, де 
. Довжина неевклідової коло не пропорційна радіусу, як в разі евклідової геометрії, а зростає швидше. Також площа неевклидова кола більше площі кола евклідової площини, що має той же радіус.
6. Висновок:
Відкриття неевклідової геометрії, початок якому поклав Лобачевський, не тільки зіграло величезну роль у розвитку нових ідей і методів у математиці природознавстві, але має і філософське значення. Господствовавшее до Лобачевського думку про непорушність геометрії Евкліда значною мірою ґрунтувалося на навчанні відомого німецького філософа І. Канта (1724-1804), родоначальника німецького класичного ідеалізму. Кант стверджував, що людина впорядковує явища реального світу відповідно до апріорним уявленням, а геометричні уявлення і ідеї нібито апріорні (латинське слово aprior означає - спочатку, заздалегідь), тобто, не відображають явищ дійсного світу, не залежать від практики, від досвіду, а є вродженими людському світу, раз і назавжди зафіксованими, властивими людському розуму, його духу. Тому, Кант вважав, що Евклідова геометрія непохитна, незмінна, і є вічною істиною. Ще до Канта геометрія Евкліда вважалася непорушною, як єдино можливе вчення про реальний простір.
Відкриття неевклідової геометрії довело, що не можна абсолютований уявлення про простір, що «вживана» (як назвав Лобачевський геометрію Евкліда) геометрія не є єдино можливою, однак це не підірвало непорушність геометрії Евкліда. Отже, в основі геометрії Евкліда лежать не апріорні, вроджені розумові поняття і аксіоми, а такі поняття, які пов'язані з діяльністю людини, з людською практикою. Тільки практика може вирішити питання про те, яка геометрія вірніше викладає властивості фізичного простору. Відкриття неевклідової геометрії дало вирішальний поштовх грандіозному розвитку науки, сприяло і понині сприяє більш глибокому розумінню навколишнього нас матеріального світу.
Список джерел:
1. Математика XIX століття, «Наука», М., 1981
2. "Квант" №11, №12 Академік АН СРСР А.Д. Александров, Інтернет-видання.
3. Юшкевич А.П., Історія математики в Росії, «Наука», М., 1968
4. Єфімов Н.В., Вища геометрія, «Наука», М., 1971.
5. Неевклідові простору і нові проблеми фізики, «Білка», М., 1993
6. Клайн М., Математика. Втрата визначеності, «Світ», М., 1984
7. Г.І. Глейзер. Історія математики в школі IX - X класи. Посібник для вчителів. Москва, «Просвещение» 1983р.
8. Даан Дальмедіно А., Пейффер І. Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математики. Переклад з французької. М: Мір.1986г.
9. Б.Л. Лаптєв. Н.І. Лобачевський і його геометрія. Посібник для учнів. М. «Просвещение», 1970р.
10. І.М. Яглам. Принцип відносності Галілея і неевклідова геометрія. Серія «Бібліотека математичного гуртка» М: 1963г.
11. http://www.bankreferatov.ru
12. http://www.refportal.ru
13. http://www.edu.ru
14. http: // www.
15. http://www.themesoch.narod.ru/t_s
16. http://www.referat.online.ru
17. http://www.pautina.net
розділ: Математика
Кількість знаків з пробілами: 24411
Кількість таблиць: 0
Кількість зображень: 11
... уявити інші геометрії Кант вважав достатньою підставою, щоб стверджувати, що інші геометрії не можуть існувати. Поява неевклідової геометрії Але багатовікові спроби докази п'ятого постулату Евкліда привели зрештою до появи нової геометрії, що відрізняється від евклідової тим, що в ній V постулат не виконується. Ця геометрія тепер називається неевклідової, а в ...
..., т. Е. Такі пари точок вважаються за одну точку. З цього визначення випливає, що при зростанні n число типів неевклідових просторів також зростає. Неевклідові геометрії є геометриями найпростіших риманових просторів певної і невизначеною метрики, що складають так званий клас просторів постійної ненульовий кривизни. Кожне з таких n-мірних просторів допускає ...
... цілих три докази V постулату, хибність яких швидко показали його сучасники. Останнє «доказ» він опублікував в 1823 році, за три роки до першої доповіді Лобачевського про нову геометрії. Відкриття неевклідової геометрії У першій половині XIX століття по шляху, прокладеному Саккери, пішли відразу три математика: К.Ф. Гаусс, Н.І. Лобачевський і Я. Бойяи. Але мета у них була вже інша ...
... живий. Нехай нових ліній НЕ накреслять руки, Він тут варто, винесеної високо, Як твердження бессмертья свого, Як вічний символ торжества науки. Інші автори. Ідея неевклідової геометрії прийшла в голову не тільки Лобачевському - просто йому відносно пощастило. Одним з «конкурентів» був Гаусс - великий самітник, який відмовився від послуг пошти, щоб ніхто не зміг звинуватити його в плагіаті. ...
