А що якщо автор "Аліси в Країні чудес" зовсім і не заступав в долини підсвідомого в своєму творі, а просто висловив своє ставлення до сучасних йому процесами в математичній науці таким ось незвичайним і хитромудрим чином? Все-таки він був викладачем Цариці наук, а не психиатором. Читаємо і вирішуємо самі, чи погодитися з автором поста або все-таки, по-старому, з групою Jefferson Airplane.
Так казка або все-таки сатира проти сучасників-математиків?
Знаменита «Аліса в країні чудес» Льюїса Керролла була б зовсім іншою книгою без Чеширського Кота, опису суду, «дитини» Герцогині і без Божевільного Чаювання в компанії Болванщика. Однак, якщо познайомитися з оригіналом тієї казки, яку автор розповів Алісі Ліддел та двом її сестрам одного разу на човнової прогулянці біля Оксфорда, то ви не знайдете в тексті всіх цих знаменитих персонажів і символів.
Коли я взялася за написання дисертації, присвяченої англійській літературі вікторіанської епохи, я хотіла з'ясувати, що надихнуло автора на всі ці пізніші додатки. У критичній літературі книга, як правило, інтерпретується у фрейдиському ключі як стрімкий спуск в темні глибини підсвідомості. Докладний аналіз доданих сцен мені не попадався, але одна робота сильно виділялася на тлі інших. У 1984 році Хелена Пайсіор з університету Вісконсін-Мілуокі написала статтю, в якій простежила зв'язку між судом над Червоним Валетом з вікторіанським підручником алгебри. З огляду на основну спеціальність автора «Аліси», було досить дивно виявити, що майже не існує досліджень його книги з математичної точки зору. Як відомо, «Керролл» - це псевдонім. Справжнє ім'я автора - Чарльз Доджсон, він працював викладачем математики в оксфордському коледжі Крайст-Черч.
Для математики XIX століття видався дуже бурхливим, породив безліч нових і неоднозначних концепцій, які, однак, були широко сприйняті в науковому співтоваристві. Якщо розглянути «Алісу в країні чудес» саме в такому контексті, стає зрозуміло, що математик Доджсон, який відрізнявся рідкісним консерватизмом, придумав деякі сцени, відсутні в першій редакції казки, щоб висміяти ці радикально нові ідеї.
Навіть самі захоплені шанувальники Доджсона змушені визнати, що той був дуже обережним математиком і залишив зовсім мало оригінальних робіт. Однак він був сумлінним педагогом і з усіх математичних робіт понад усе цінував давньогрецький евклідовскій трактат « почала », Який вважав зразком математичного мислення. В цілому ця праця Евкліда присвячений геометрії кіл, чотирикутників, паралельних прямих, а також зачіпає найпростіші тригонометричні функції. Але сама вражаюча риса «Начал» полягає у виключній строгості міркувань. Евклід починає книгу з викладу кількох неспростовних істин (аксіом), а потім вибудовує на їх основі складні докази. При цьому кожен крок докази залишається простим і логічним. Кожна посилка постулюється, доводиться, а кожна така теорема резюмується «Що й треба було довести».
Століттями такий підхід вважався вершиною математичного і логічного мислення. Проте, на розчарування Доджсона, не всі математики його століття відрізнялися евклідовской скрупульозністю. Доджсон відкидав їх роботи як «полуділетантскіе» і навіть вважав не цілком логічними. Проте, на розчарування Доджсона, ця нова математика все сильніше віддалялася від фізичної реальності, на основі якої були побудовані праці Евкліда.
В даний час вчені широко використовують математичні концепції, які на перший погляд здаються нелогічними, наприклад, уявні числа. Уявне число являє собою квадратний корінь з від'ємного числа і описує фізичні величини зовсім не так, як цілі числа або дроби. У вікторіанську епоху ще ніхто не сприймав ці нові концепції беззастережно, йшли відчайдушні пошуки філософської бази, яку можна було б підвести під ці феномени. Однак такі розробки відкривали перед математиками дивовижні можливості для дослідження нових ідей. Багато з них були готові озброїтися цієї дивної логікою, оскільки існував цілком сумісний науковий апарат для операцій над такими концепціями. Проте, з точки зору Доджсона, нова математика була абсурдна. Він визнавав, що всі ці напрацювання можуть бути цікаві маститому вченому, але був упевнений, що все це неможливо пояснити пересічному студентові.
У науковій періодиці Доджсона просто розгромили, і він вирішив підійти до математики через художню літературу. Озброївшись методом, знайомим із доказів Евкліда - доведенням до абсурду, - він розкритикував «полулогічность» нової математики. Доджсон висміяв її слабкі сторони, довівши закладені в ній посилки до логічного завершення і очікувано отримавши абсурдні результати. Так з'явилася книга «Аліса в країні чудес».
Алгебра і кальян
Звернемося, наприклад, до глави «Синя гусінь дає пораду». Аліса вже встигла впасти в кролячу нору і з'їсти пиріжок - в тому епізоді дівчинка зменшилася до трьох дюймів. А в п'ятому розділі, яку ми вирішили перечитати, автор знайомить нас з Гусеницею, яка курить кальян. Гусениця показує Алісі гриб: щоб повернути нормальні розміри, дівчинці потрібно їм поласувати. Але вся заковика в тому, що м'якоть з одного боку гриба витягує Алісину шию, а з іншого боку - вкорочує тулуб. Щоб повернути собі нормальні розміри і пропорції, Аліса повинна скуштувати суворо певну кількість м'якоті з кожного боку гриба.
Деякі дослідники вважають, що ця сцена з кальяном і «чарівним грибом» натякає на наркотики. Однак, я вважаю, тут Доджсон викладає свої уявлення про абсурдність символічної алгебри, яка розривала зв'язку між алгеброю, арифметикою і улюбленою геометрією Доджсона. У наступних розділах книги містяться більш специфічні математичні аналогії, але ця сцена легка і грайлива. Вона задає тон для того сюра, який чекає читача попереду.
Перший натяк може бути пов'язаний з самим кальяном: почнемо з того, що в англійській мові кальян називається словом «hookah», яке має арабське походження, як і слово «алгебра». Тим більше цікаво відзначити, що Огастес де Морган , Перший британський математик, який сформулював несуперечливий апарат правил символічної алгебри, використовує в своїй книзі « Тригонометрія і двічі алгебра »(1849) оригінальне арабська назва алгебри. Морган вживає формулювання «al jebr e al mokabala» [аль джебр е аль мокабала], що означає «скорочення і відновлення» - фактично, саме це і зазнає Аліса. Саме прагнення до «відновлення» привело Алісу до грибу: вона шукала, чого б такого з'їсти чи випити, щоб придбати нормальний розмір. Коли вона з'їла шматочок гриба, з нею сталося якраз «скорочення» - підборіддя стукнувся об ноги.
У своїй роботі де Морган описує, чому хоче відійти від універсальної арифметики, де алгебраїчні символи означають конкретні числа, відповідні фізичним величинам. Він вважає за краще такій системі символічну алгебру, де допускаються будь-які «абсурдні» операції, в тому числі, що призводять до негативних або неможливим рішенням. Головне, щоб ці операції слідували чіткої внутрішньої логіці. Саме символічна алгебра сьогодні стала відточеним мовою для опису відносин між математичними об'єктами, але в вікторіанську епоху алгебра сприймалася зовсім інакше. У перших роботах по символічній алгебри також зберігалася непрямий зв'язок з фізичними величинами.
Де Морган бажав усунути навіть цю хитку зв'язок з вимірами і пропонував трактувати символічну алгебру як граматичну систему. Досить «скоротити» алгебру від універсальної арифметики до набору логічних, але при цьому абсолютно символічних операцій, вважав він, і ми зможемо «відновити» глибший сенс всієї системи. Правда, на той момент він ще не міг сказати як.
Аліса, тримай себе в руках
Я вважаю, що абсурдність Країни Чудес відображає уявлення Доджсона про небезпеки нової символічної алгебри. Аліса потрапляє з раціональної реальності в світ, де навіть числа діють безладно. У залі, куди її привела кроляча нора, Аліса намагається пригадати таблицю множення, але виявляється, що її розрахунки не вписуються в звичну систему з основою 10. У сцені з гусеницею Доджсон висловлює свої побоювання, розповідаючи, що Алісин зростання коливається між 9 футами і 3 дюймами. Аліса скута рамками традиційної арифметики, де фізична величина (наприклад, розмір) повинна бути визначеною. Алісу це сильно турбує. «Стільки перетворень в один день хоч кого зіб'є з толку», - скаржиться вона. «Не зіб'є», - заперечує Гусениця. Дійсно, вона ж звикла жити в абсурдному світі.
Застереження, яке Гусениця промовляє в кінці цієї сцени, ймовірно, один з найбільш промовистих натяків на доджсоновкую консервативну математику. «Тримай себе в руках!» - заявляє Гусениця. Аліса передбачає, що Гусениця рекомендує їй не злитися. Однак, хоча дівчинка дійсно виражається досить різко, до цього моменту вона не встигла сказати нічого образливого, тому досить дивно, що рада Гусениці звучить саме так. В оригіналі ж гусениця каже: «Keep your temper». Інтелектуали часів Доджсона, ймовірно, повинні були зрозуміти слово «temper» (помірність) в буквальному сенсі: «пропорція, де все властивості знаходяться в правильному співвідношенні». Таким чином, Гусениця підказує Алісі, що зберігати помірність - це дотримуватися правильних пропорцій, незалежно від того, який твій розмір.
Тут, знову ж таки, простежується любов Доджсона до геометрії Евкліда, де абсолютна величина не має значення. По-справжньому важливі лише співвідношення довжин відрізків, наприклад, при визначенні властивостей трикутника. Щоб вціліти в Країні Чудес, Аліса повинна діяти, як геометр-евклідіанец, - зберігати пропорції, навіть якщо її розміри змінюються.
Зрозуміло, вона цього не робить. Аліса з'їдає шматочок гриба, і її шия виростає, як у змії, що призводить до нового витка абсурду, поки Аліса не виправляє своє зростання, відкусивши від гриба з іншого боку. Це важлива приказка для наступної глави «Порося і перець», де Доджсон пародіює ще один тип геометрії.
До цього моменту Аліса вже повернулася до своїх нормальних розмірів, але потім дівчинка знову зменшується, щоб потрапити в маленький будиночок. Там на кухні вона зустрічає Герцогиню, колисати дитину. Кухарка сипле в суп занадто багато перцю, і від запаху супу чхають все, крім Чеширського Кота. Але коли Герцогиня дає Алісі потримати дитину, той чомусь перетворюється в поросяти.
Весь цей епізод присвячений проективної геометрії, яка досліджує властивості фігур. Ці властивості не змінюються, навіть якщо фігура проектується на іншу площину. Припустимо, зображення виводиться на рухливий екран, а потім ми схиляємо цей екран під різними кутами, отримуючи сімейство фігур. У цій дисципліні присутні різні феномени, багато з яких Доджсон, ймовірно, вважав безглуздими. Типовим прикладом такого феномена є «принцип безперервності».
Жан-Віктор Понселе , Математик, який запропонував цей принцип, формулює його наступним чином: «Якщо одна фігура виходить з іншої безперервним перетворенням і отримана фігура не поступається за спільністю вихідної, то можна відразу ж стверджувати, що будь-яку властивість першої фігури буде справедливо і для другої фігури».
Мабуть, найпростішим прикладом цього принципу є співвідношення двох пересічних кіл. Вирішивши їх рівняння, ми знайдемо, що вони перетинаються в двох різних точках. Згідно з принципом безперервності, будь безперервне перетворення цих кіл, наприклад, видалення їх центрів один від одного, не порушує вищевказаного базового властивості, а саме: кола так і будуть перетинатися рівно в двох точках. Лише якщо центри кіл будуть віддалені один від одного досить сильно, рішення задачі буде включати уявне число, яке не можна висловити в «фізичному» розумінні.
Зрозуміло, коли Понселе говорить про «фігурах», він має на увазі геометричні фігури. Але в англійській мові слово «figure» також означає «персонаж», і Доджсон жартівливо піддає «полуділетантскій» аргумент Понселе суворому логічному аналізу, доводячи його до самого абсурдного висновку. Якщо принцип діє на трикутники, значить, він повинен діяти і на немовлят. Якщо немає - сам принцип є помилковим. Що й потрібно було довести. Отже, Доджсон перетворює немовляти в поросяти відповідно до принципу безперервності. Примітно, що ця істота зберігає більшу частину своїх основних рис, що повністю узгоджується з принципом безперервності. Наприклад, його ручки і ніжки і раніше стирчать в різні боки, як промені морської зірки, малюк все згинається, ніс у нього занадто кирпатий для немовляти, а очі - занадто маленькі. Аліса усвідомлює, що сталося, тільки коли плач немовляти змінюється рохканням. Все, що відбувається доставляє маляті величезну незручність, а нестримана жорстокість Герцогині яскраво демонструє отруйний скепсис Доджсона щодо «сучасної» проективної геометрії. У розділі про порося і перці абсолютно все йде шкереберть. Герцогиня - погана аристократка і нікуди не годна мати, Кухарка - погана кухарка, яка задимлювати всю кухню, переперчівает суп і, врешті-решт, починає кидатися кочергою, горщиками і тарілками.
Алісу злить вся ця метушня, вона залишає будинок Герцогині і відправляється на чаювання до Болванщиком. Тут автор препарує роботи ірландського математика Вільяма Роуена Гамільтона . Гамільтон помер в 1865 році незабаром після публікації «Аліси в країні чудес». Але в той період все ще широко обговорювалося відкриття кватерніонів, зроблене Гамільтоном в 1843 році. Це відкриття вважалося найважливішою віхою в історії абстрактної алгебри, оскільки кватерніони забезпечували алгебраїчне обчислення обертань.
Як відомо, комплексне число складається з двох частин. Кватерніони існують в такий математичної системі, яка заснована на використанні чотирьох частин (див. « уявна математика »). Гамільтон довгі роки розробляв трехчастную систему - по одній частині на кожне просторове вимір, - але йому вдавалася лише модель обертання на площині. Але, коли він додав четверту частину, вдалося, нарешті, представити тривимірне обертання. Правда, Гамільтон мав труднощі описати, чому ж відповідає додаткова четверта частина. Як і більшість викторианцев, він був упевнений, що ця частина повинна щось означати. Тому в передмові до своїх «Лекції про кватерніонів» (1853) він зробив примітку: «Мені здавалося (і як і раніше здається) природним співвіднести цю внепространственной частина з феноменом часу».
Гамільтон вважав, що якщо геометрія забезпечує дослідження простору, то алгебра, в свою чергу, дозволяє вивчати «чистий час». Це досить заплутана концепція, яку Гамільтон сформулював на основі ідей Канта. Передбачалося, що «чистий час» представляє собою ідеал часу в платонівському розумінні і відрізняється від реального часу, яка сприймається людьми. Інші математики ввічливо, але обережно ставилися до цієї гіпотези, вважаючи, що «ідеальний час» - це вже занадто. Між математикою Гамільтона і чаюванням у Башмачника простежуються разючі паралелі. Аліса сидить за столом з дивними персонажами: Болванщиком, Березневим Зайцем і Мишею-сонею. Персонаж Час, який посварився з Болванщиком, відсутня. Але з шкідливості Час не дозволяє стрілках годинника Болванщика дійти до шостої вечора і просунутися далі.
Якщо інтерпретувати цю сцену в контексті математики Гамільтона, можна зробити висновок, що троє персонажів відповідають трьом частинам кватерниона, а найважливіша четверта частина - Час - відсутня. Автор пояснює нам, що без Часу вся трійця навічно застрягла за чаюванням, і вони «навіть посуд мити не встигають».
Їх метушня навколо столу нагадує про перші спроби Гамільтона обчислити рух, яке спочатку (до додавання в систему четвертої частини - Часу) вдавалося змоделювати лише на площині. Навіть коли Аліса приєднується до чаювання, вона не може зупинити метушню Болванщика, Зайця і Соні, так як дівчинка не є внепространственной одиницею, подібної Часу.
У Цій сцені Болванщик загадує абсурдну загадку: «Чим ворон схожий на конторку?» Цей епізод більш чітко вказує на теорію «чистого часу». Гамільтон стверджував, что на Рівні чистого часу зникає зв'язок между причиною и наслідком, І, можливо, самє на це вказує безумність загадки Болванщика, на якові НЕ может буті ВІДПОВІДІ. Аліса сміліво намагається відгадаті загадку, и тут автор вісміює ще одна властівість кватернионов. Справа в тому, що множення кватерніонів некомутативними, тобто, x × y не дорівнює y × x. Відповіді Аліси також некомутативними. Коли Заєць заявляє, що «потрібно завжди говорити те, що думаєш», Аліса відповідає: «Я так і роблю ... Принаймні, я завжди думаю, що говорю ... а це одне і те ж». «Зовсім не одне і те ж !, - заперечує Болванщик. - Так ти ще, чого доброго, скажеш, ніби «Я бачу те, що їм» і «Я їм те, що бачу» - одне й те саме ». Ймовірно, подібні ідеї повинні були дратувати математика-консерватора на зразок Доджсона, оскільки некомутативними алгебра суперечить основоположним законам арифметики і відкриває дивовижний світ нової математики - навіть ще більш абстрактний, ніж той, який описали прихильники символічної алгебри.
У фіналі цієї сцени Болванщик і Заєць засовують Соню в чайник. Можливо, це шлях до свободи. Якби парочка змогла позбутися від Соні, то могла б існувати незалежно - як двухчастное комплексне число. Це теж безумство, вважає Доджсон, але тоді, принаймні, можна буде не рухатися колами навколо столу (тобто, не обертатися).
Тут, ймовірно, сатиричні випади Доджсона проти сучасників-математиків закінчуються. Що ж залишається в казці «Аліса в країні чудес» без цих аналогій? Нічого крім вихідної доджсоновской казки на ніч «Пригоди Аліси під землею». Ця казка чарівна, але абсолютно позбавлена будь-якого характерного нонсенсу. Доджсон демонструє верх дотепності саме коли висміює що-небудь, але він пускається в сатиру, лише якщо тема донезмоги його зачіпає. Він написав два сміховинно смішних памфлету, в яких знущалися над новими порядками в Оксфордському університеті. Навпаки, все його історії, крім «Аліси», були нудні і повчальні.
Готова посперечатися, що якби не було в «Алісі» лютою сатири, з якої Доджсон обрушився на своїх колег-математиків, ця книга ніколи не стала б такою знаменитою, а Льюїса Керролла ніхто б не пам'ятала як неперевершеного майстра сюрреалістичної казки.
переклад статті Мелані Бейлі
Ілюстрація: wikipedia.org
Так казка або все-таки сатира проти сучасників-математиків?У Цій сцені Болванщик загадує абсурдну загадку: «Чим ворон схожий на конторку?
Що ж залишається в казці «Аліса в країні чудес» без цих аналогій?
