Про затопленої струмені в'язкої рідини

Як сталося, що один з провідних радянських фізиків академік Лев Давидович Ландау в розпал Великої вітчизняної війни займався класичною гидродинамикой, точніше, завданням про затоплену струмені в'язкої рідини?

Як таке могло статися в країні, в якій майже всі (а може і все) працездатні фізики займалися озброєнням або атомною бомбою? Не кажучи про те, що класична гідродинаміка, яка налічує вже близько 200 років, зовсім не була переднім краєм фізичної науки, ніж належало б займатися провідним вченим.

Треба зауважити, що у Лева Давидовича вже були видатні досягнення найвищого рівня. Це надтекучість, за яку він отримав Нобелівську премію, і надпровідність, - дивовижні явища, які відбуваються при наднизьких температурах. Це, не враховуючи 10-ти томного курсу теоретичної фізики, яка не втратила актуальності і сьогодні за свою повноту, лаконічність і зрозумілість.

Про оригінальність рішення задачі про струмені ми поговоримо пізніше, але цікавий сам факт занять гидродинамикой в ​​такий непростий час.

Ландау довелося повною мірою відчути тяжкість сталінських репресій. Цілий рік він провів в таборах. Лише завдяки безстрашному клопотанням іншого видатного фізика, Петра Леонідовича Капіци, улюбленого учня батька атомної фізики Ернеста Резерфорда, його вдалося врятувати від сумної долі.

Зауважимо, що гидродинамикой в ​​цей час займався не тільки Лев Давидович. Так, чудовий математик і механік Михайло Олексійович Лаврентьєв, майбутній президент сибірського відділення АН СРСР, займався кумулятивними струменями. Особливість цих струменів в тому, що при великих швидкостях тверде тіло при зіткненні з іншим таким же тілом поводиться як рідина, розтікаючись по поверхні останнього.

Залишаючи осторонь думка про те, що будь-яка фізика цікава для справжнього вченого, спробую дати свою версію причини виникнення їх «інтересу» до класичної гідродинаміки.

Одна з важливих проблем при створенні атомної бомби полягає в отриманні критичної маси радіоактивного матеріалу. Тобто такої маси, в якій народжується досить нейтронів для того, щоб почалася ланцюгова реакція розпаду ядер урану з виділенням величезної енергії. Здавалося б, взяти і перемішати дві маси, близькі до критичної, міксером. Але наскільки це ефективно?

Для початку ланцюгової реакції протягом досить короткого проміжку часу повинні «стикнутися» великі поверхні радіоактивної речовини. Це необхідно для прискорення ходу реакції, яка тим ефективніше, чим більше поверхня взаємодії. При цьому обсяг, де відбувається реакція, повинен залишатися досить малим.

Саме тут могла виникнути ідея: направити одну з половин критичної маси з великою швидкістю на іншу, нерухому. Для того, щоб розрахувати необхідну поверхню, як раз і потрібно було вирішити задачу про затоплену струмені з урахуванням кумулятивного ефекту. Цією проблемою і міг бути обумовлений інтерес вчених. Тобто дослідження могли бути пов'язані з технічною необхідністю, а не з чистою теорією.

А тепер, відволікаючись від наших детективних досліджень, торкнемося безпосередньо завдання про затоплену струмені.

Звичайно, розповісти популярно про рішення системи найважчих, незважаючи на їх вік, рівнянь фізики без використання математичного апарату непросто, але зробимо таку спробу. І тут потрібно тільки трохи вашої уваги і зусиль для засвоєння, можливо, незвичних понять.

Але повірте, краса рішення, даного Л.Д.Ландау, варто того, щоб приділити йому увагу. Для теоретичного рішення задачі фізики часто формулюють її у вигляді диференціальних рівнянь з граничними умовами.

Перші успіхи гідродинаміки пов'язані з ім'ям великого Леонарда Ейлера, який написав рівняння руху ідеальної рідини.

Це були рівняння для трьох компонент поля швидкостей рідини v = (vx, vy, vz), де vx (x, y, z), vy (x, y, z) і vz (x, y, z) - компоненти швидкості в точці (x, y, z). Слід також врахувати рівняння нерозривності, яке в шкільному варіанті має вигляд: ρ · v · S = const, де ρ - щільність рідини, v - швидкість рідини в перерізі трубки площею S.

Але зазначені рівняння приводили до парадоксів. Дозволити їх вдалося, взявши до уваги в'язкість - властивість, якою володіє реальна рідина. Це зробили французький вчений Анрі Нав'є (для нестисливої рідини - в 1822 р), до речі, один з творців сучасної теорії пружності, і Джордж Стокс (в 1845 році він узагальнив рівняння Нав'є на стискувані рідини).

Їх зусиллями і виникли рівняння руху в'язкої рідини, яким справедливо привласнили їх ім'я, - рівняння Нав'є-Стокса. Прямо скажемо, рівняння не з простих.

Перед тим, як перейти до суті завдання, скажемо кілька слів про диференціальні рівняння взагалі для тих, кому це в новинку. Рішенням такого рівняння, на відміну, наприклад, від відомого зі школи квадратного рівняння, є не набір з двох чисел, а ціла функція. Диференціальними їх називають тому, що розглядається об'єкт дуже малих розмірів і в малій області простору, де всі цікаві для аналізу величини, можна вважати постійними.

Рівнянь Нав'є-Стокса чотири, як і рівнянь Максвелла, але з однією істотною відмінністю, - вони нелінійні. Ця маленька добавка призводить до дуже великих складнощів.

Невипадково завдання розв'язання рівнянь Нав'є-Стокса увійшла в 7 найважчих завдань тисячоліття і за неї призначена чимала премія. Нелінійність відіграє не останню роль і в явищі турбулентності, яке теж залишається незрозумілим до теперішнього часу, хоча проблеми вже майже 100 років.

Про все це ми говоримо, щоб підкреслити важливу причину, чому, незважаючи на довгу історію, точні рішення рівнянь Нав'є-Стокса можна перерахувати по пальцях. Кожне точне рішення - подія. Так ось, одне з таких рішень належить Л.Д.Ландау, і йому буде присвячено наше подальше оповідання.

Існує кілька форм записи рівнянь Нав'є-Стокса. Одна з них, - це форма Лагранжа. При цьому розглядається рух реальної частинки рідини досить малих розмірів. Рівняння дуже схожі на рівняння динаміки Ньютона. Враховано тільки сили, що діють на частинку рідини з усіх боків. У Ньютона тіло або матеріальна точка теж може рухатися в поле сил, але в суцільному середовищі точок, що оточують обрану частку рідини, континуумі.

Іншу форму запропонував Ейлер. Це польовий спосіб опису рідкого середовища (про поняття поля в фізиці можна прочитати в статті в журналі «Країна знань», №4 за 2017 р ). При цьому розглядають поле швидкостей або тисків (напруг), існуючих в рідкому середовищі. Невідомою функцією, яку треба знайти, є швидкість, точніше поле швидкостей.

Але зауважимо, що є й інша форма рівнянь Нав'є-Стокса. Коли невідомим є так званий тензор потоку імпульсу. Ми зупинимося на цій формі рівнянь, оскільки саме нею користувався Л.Д.Ландау в своєму рішенні.

Щоб не ускладнювати, скажімо, що рівняння в такій формі аналогічно закону Ньютона у вигляді: швидкість зміни імпульсу дорівнює силі. Перед тим, як розповісти про зрівняння Нав'є-Стокса в тензорному вигляді, пояснимо докладніше поняття «тензор».

Розглянемо його на прикладі тиску, яке в школі вважають скалярним полем, тобто в кожній точці простору тиск описується одним числом. У реальної рідини, що знаходиться в полі, наприклад, сил тяжіння, сила, що діє на малу одиничну площадку (а це і є тиск), буде залежати від її орієнтації в просторі.

Таких незалежних майданчиків, через які можна виразити силу, діючу на довільно розташовану майданчик, всього три. Кожній з таких незалежних майданчиків відповідає вектор сили (три числа), і оскільки майданчиків теж три, то локальне силову дію на довільно орієнтовану майданчик буде залежати від трьох векторів (або 9 чисел).

Сукупність таких 9 чисел в кожній точці простору і складають тензор тиску (напруги) 2 рангу (хто знає, це - матриця 3 × 3). Якщо чисел - 27, буде тензор 3 рангу і т.д.

У гідродинаміці використовують тензор потоку імпульсу Пik, де i і k пробігають значення 1, 2, 3. У нього входять і описаний вище тензор тиску, і тензор зовнішніх сил.

Особливо широко використовується тензорний апарат в теорії тяжіння (загальної теорії відносності) Альберта Ейнштейна, де тензори описують з одного боку геометрію простору-часу, з іншого - енергію поля і речовини.

Щоб написати рівняння Нав'є-Стокса в тензорному вигляді, введемо спеціальне тензорне позначення вектора: хk. Звичайна запис х = (х 1, х 2, х 3). Наше рівняння має дуже простий вигляд (рівняння нерозривності для тензора Пik):

∂ Пik / ∂ хk = 0.

Словами це рівняння можна виразити так: зміна в просторі тензора потоку імпульсу дорівнює нулю. Щоб не дуже лякати читача, вперше стикається з таким записом, скажемо тільки, що складність прихована в явному вираженні самого тензора Пik.

Своє рішення Л.Д. Ландау отримав, як ми згадували, ще у воєнні роки, і воно було опубліковано в його (разом з Е.М.Ліфшіцем) книзі «Механіка суцільних середовищ» (1944 г.).

Таке завдання вирішували і інші вчені. Наприклад, автор солідної монографії з гідродинаміки Лев Герасимович Лойцянський знайшов наближене рішення, яке якісно відповідало рішенням Л.Д.Ландау, але займало багато сторінок.

Перейдемо до самого рішення, і далі будемо намагатися обійтися без формул. Отже, перед нами завдання: з зануреною в воду труби б'є струмінь води і потрібно знайти поле швидкостей води в навколишньому трубу просторі.

Ландау розглянув простий варіант осесиметричною струменя, коли поле швидкостей не змінюється при повороті труби навколо її осі на довільний кут. Крім того, він припускав, що труба має дуже малий діаметр (ідеалізація, що має певний сенс). Це випадок так званої автомодельної завдання.

Як же Лев Герасимович вирішував цю задачу?

Перше, що він зробив, це припустив, враховуючи осьову симетрію задачі, що всі компоненти тензора, а їх 9, дорівнюють нулю, крім однієї. Наступним кроком, він написав зовсім неочевидне, хоча і легко перевіряється, співвідношення для цієї відмінною від нуля компоненти. А вже звідси отримав зовсім просте звичайне диференціальне рівняння.

Його називають рівнянням Бернуллі. Воно має дуже просте рішення, відоме зі школи як закон збереження енергії невеликого об'єму рідини.

Зауважимо, що, при вирішенні рівняння Нав'є-Стокса стандартним способом (досить громіздким і непростим), приходять до іншого, набагато більш складного звичайного диференціального нелінійного рівняння Риккати, рішення якого в загальному випадку не виражається через елементарні функції. Рівняння Бернуллі є дуже простий окремий випадок рівняння Риккати.

Так ось, у Ландау рішення вийшло як фокус, відразу і просто, минаючи довгі і складні обчислення. Цікаво, що трохи пізніше, відомий фахівець в області теорії турбулентності Михайло Олександрович Гольдштік, показав, що рішення Л.Д. Ландау не просто найпростіше, але ще і єдино можливе в умовах поставленого завдання.

Тобто, рівняння Риккати в завданні Л.Д. Ландау завжди спрощується до рівняння Бернуллі. Цікаво те, що багато вчених, вирішуючи різні випадки рівняння Риккати, отримали безліч рішень, які не мають в дійсності фізичного сенсу.

Ось така цікава історія струменя води. Як Л.Д.Ландау до всього цього додумався, залишається загадкою. Сама робота, де викладено рішення, виглядає якимось фокусом, наочним, але незбагненним.

Тепер про фізичному сенсі отриманого рішення, яке записували у вигляді функції струму. Що таке функція струму? Це аналог силової лінії електричного поля. Тобто ця функція описує лінію, дотична до якої в кожній точці збігаються з напрямом вектора швидкості рідини.

Отримана Л.Д.Ландау функція струму давала лінії, які поблизу гирла, звідки витікала вода, трохи наближалися до осі труби, а далі розташовувалися на поверхні дуже повільно розширюється від осі конуса. Картина ліній струму, взята зі згаданої книги Л.Д. Ландау і Є.М. Ліфшиця, наведена на малюнку. Такий режим течії називають «зімкнутим».

Крім цього, рішення Л.Д. Ландау володіло рядом особливостей. Одне з них - рішення годиться тільки для дуже вузьких середовищ і не містить переходу до ідеальної рідини, що досить дивно. Зазвичай в граничному випадку повинна працювати теорія ідеальної рідини, так само, як граничним випадком прискореного руху є рівномірний рух.

Інша дивне обмеження полягає в рівності нулю потоку рідини, що б'є з отвору. Точніше, джерело якимось чином повідомляє середовищі лише імпульс, а маса струменя формується за рахунок прітеканія до осі навколишньої рідини.

Здавалося б, слід поставити крапку в нашому оповіданні, але тут є ще дещо цікаве. Що ж це за «зімкнутий» режим течії? Наскільки він відповідає реальному перебігу води, яка витікає з труби?

Перш за все, важко зрозуміти, яким чином при нульовій витраті рідини з труби взагалі виникає якийсь рух навколишнього трубу води. Якщо спиратися на здоровий глузд, слід було б міркувати так. Вода, що витікає з гирла труби, навіть якщо витрата дуже великий, зустрічаючи лежать попереду шари води, повинна розтікатися в сторони. Тобто струмінь повинна була б розширюватися. Але такого рішення Л.Д. Ландау не дає.

Може причина в автомодельности, тобто, пов'язана з дуже незначним діаметром труби? На це питання відповів близький друг Л.Д. Ландау, професор Юрій Борисович Румер, з яким вони стажувалися в Геттінгені. Він узагальнив описане рішення на трубу кінцевого радіусу. Але отримане ним рішення все одно описувало зімкнутий режим течії.

Парадокс, пов'язаний з точним рішенням, зберігався. Так що ж, треба сумніватися в правильності точного рішення рівняння? Але відомі численні аналітичні і чисельні рішення рівнянь Нав'є-Стокса підтверджувалися експериментом і не давали приводу для сумнівів в їх достовірності.

У чому розгадка парадокса? Юні дослідники можуть задуматися над якісним його рішенням, а ми на цьому зупинимося, залишаючи місце для не менше цікавого продовження .

А.М. Пальто, доцент, кафедра загальної та теоретичної фізики фізико-математичного факультету Національного технічного університету «КПІ» ім. І. Сікорського