траєкторія

1. Траєкторія вільної матеріальної точки [ правити | правити код ]
2. Зв'язок зі швидкістю і нормальним прискоренням [ правити | правити код ]
3. Рух під дією зовнішніх сил в інерціальній системі відліку [ правити | правити код ]
4. Рух під дією зовнішніх сил в неінерціальної системи відліку [ правити | правити код ]
5. Ілюстрація [ правити | правити код ]

Траєкторія матеріальної точки - лінія в просторі , По якій рухається тіло, що представляє собою безліч точок, в яких перебувала, перебуває або буде знаходитися матеріальна точка при своєму переміщенні в просторі щодо обраної системи відліку . [1] Істотно, що поняття про траєкторію має фізичний сенс навіть при відсутності будь-якого з нею руху.

Крім того, і при наявності рухомого по ній об'єкта, траєкторія, що зображається в наперед заданій системі просторових координат, сама по собі не може нічого певного сказати щодо причин його руху, поки не проведений аналіз конфігурації поля діючих на нього сил в тій же системі координат . [2]

Не менш істотно, що форма траєкторії невідривно пов'язана і залежить від конкретної системи відліку, в якій описується рух. [3]

Можливо спостереження траєкторії при нерухомості об'єкта, але при русі системи відліку. Так, зоряне небо може послужити хорошою моделлю інерційної і нерухомої системи відліку. Однак при тривалій експозиції ці зірки представляються рухомими по кругових траєкторіях (Рис. 3)

Можливий і випадок, коли тіло явно рухається, але траєкторія в проекції на площину спостереження є однією нерухомою точкою. Це, наприклад, випадок, що летить прямо в око спостерігача кулі або минає від нього поїзда.

Траєкторія вільної матеріальної точки [ правити | правити код ]

Відповідно до Першим законом Ньютона, іноді званим законом інерції , Повинна існувати така система, в якій вільне тіло зберігає (як вектор) свою швидкість. Така система відліку називається інерційної . Траєкторією такого руху є пряма лінія , А сам рух називається рівномірним і прямолінійним.

Прийнято описувати траєкторію матеріальної точки в наперед заданій системі координат за допомогою радіус-вектора , Напрямок, довжина і початкова точка якого залежать від часу . При цьому крива, описувана кінцем радіус-вектора в просторі може бути представлена ​​у вигляді сполучених дуг різної кривизни , Що знаходяться в загальному випадку в пересічних площинах . При цьому кривизна кожної дуги визначається її радіусом кривизни , Направленому до дуги з миттєвого центру повороту , Що знаходиться в тій же площині, що і сама дуга. при тому пряма лінія розглядається як граничний випадок кривої , Радіус кривизни якої може вважатися рівним нескінченності . І тому траєкторія в загальному випадку може бути представлена ​​як сукупність сполучених дуг.

Істотно, що форма траєкторії залежить від системи відліку , Обраної для опису руху матеріальної точки. Так, прямолінійний рівномірно прискорене рух в одній інерційній системі в загальному випадку буде параболічних в інший рівномірно рухається інерціальної системи відліку.

Ділянка траєкторії матеріальної точки в фізиці зазвичай називають шляхом і зазвичай позначають символом S - від італ. s postamento ( переміщення ).

Зв'язок зі швидкістю і нормальним прискоренням [ правити | правити код ]

Швидкість матеріальної точки завжди спрямована по дотичній до дуги, яка використовується для опису траєкторії точки. При цьому існує зв'язок між величиною швидкості v {\ displaystyle v} , нормальним прискоренням a n {\ displaystyle a_ {n}} і радіусом кривизни траєкторії R {\ displaystyle R} в даній точці:

a n = v 2 R {\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {v ^ {2}} {R}}}

Однак, не всяке рух з відомою швидкістю по кривій відомого радіуса і знайдене за наведеною вище формулою нормальне (доцентрове) прискорення пов'язане з проявом сили, спрямованої по нормалі до траєкторії ( центростремительной сили ). Так, знайдене за даними фотографії добового руху світил прискорення будь-якої із зірок аж ніяк не говорить про існування викликає це прискорення сили, що притягає її до Полярної зірки, як центру обертання.

Подання траєкторії як сліду, що залишається рухом матеріальної точки, пов'язує чисто кінематичне поняття про траєкторію, як геометричній проблеми, з динамікою руху матеріальної точки, тобто проблемою визначення причин її руху. Фактично, рішення рівнянь Ньютона (при наявності повного набору вихідних даних) дає траєкторію матеріальної точки.

Відповідно до принципом відносності Галілея , Існує безліч рівноправних інерціальних систем (ІСО), рух яких одна відносно іншої не може бути встановлено ніяким чином шляхом спостереження будь-яких процесів і явищ, що відбуваються тільки в цих системах. Пряма траєкторія рівномірного руху об'єкта в одній системі буде виглядати також прямий в будь-який іншій інерціальній системі, хоча величина і напрямок швидкості будуть залежати від вибору системи, тобто від величини і напрямки їх відносної швидкості.

Разом з тим Принцип Галілея не стверджує, що одне й те саме явище, яке спостерігається з двох різних ІСО, будуть виглядати однаково. Тому Рис. 2 попереджає про двох типові помилки, пов'язаних із забуттям того, що:

1. Істинно, що будь-який вектор (в тому числі вектор сили) може бути розкладений по крайней мере на дві складові. Але це розкладання абсолютно довільно і не означає, що такі компоненти існують в дійсності. Для підтвердження їх реальності повинна залучатися додаткова інформація, в будь-якому разі не взята з аналізу форми траєкторії. Наприклад, по малюнку 2 неможливо визначити природу сили F, так само як неможливо стверджувати, що вона сама є або не є сумою сил різної природи. Можна лише стверджувати, що на зображеному ділянці вона постійна, і що для формування спостерігається в даній СО криволінійності траєкторії служить цілком певна в даній СО центростремительная частина цієї сили. Знаючи лише траєкторію матеріальної точки в будь-якої інерціальній системі відліку і її швидкість в кожен момент часу, не можна визначити природу сил, що діяли на неї.

2. Навіть в разі спостереження з ІСО, форма траєкторії прискорено рухомого тіла буде визначатися не тільки діючими на нього силами, а й вибором цієї ІСО, ніяк на ці сили не впливає. Доцентрова сила, показана на малюнку 2, отримана формально, і її величина безпосередньо залежить від вибору ІСО.

Рух під дією зовнішніх сил в інерціальній системі відліку [ правити | правити код ]

Якщо у свідомо інерціальній системі швидкість v → {\ displaystyle {\ vec {v}}} руху об'єкта (для нерухомого в даній системі спостерігача) з масою m {\ displaystyle m} змінюється у напрямку, навіть залишаючись колишньої за величиною, тобто тіло виробляє поворот і рухається по дузі з радіусом кривизни R {\ displaystyle R} , То значить, це тіло відчуває нормальне прискорення a n {\ displaystyle a_ {n}} . Причиною, що викликає це прискорення, є доцентрова сила, прямо пропорційна цьому прискоренню. У цьому полягає суть Другого закону Ньютона:

F → = m a → n {\ displaystyle {\ vec {F}} = m {\ vec {a}} _ {n}} (1)

Де F → {\ displaystyle {\ vec {F}}} є векторна сума сил, що діють на тіло, a → n {\ displaystyle {\ vec {a}} _ {n}} його прискорення, а m {\ displaystyle m} - інерційна маса. [4]

У загальному випадку тіло не буває вільно в своєму русі, і на його стан, а в деяких випадках і на швидкість , Накладаються обмеження - зв'язку . Якщо зв'язку накладають обмеження лише на координати тіла, то такі зв'язки називаються геометричними. Якщо ж вони поширюються і на швидкості, то вони називаються кінематичними. Якщо рівняння зв'язку може бути проінтегрувати в часі, то такий зв'язок називається голономних .

Дія зв'язків на систему рухомих тел описується силами, званими реакціями зв'язків. В такому випадку сила, що входить в ліву частину рівняння (1), є векторна сума активних (зовнішніх) сил і реакції зв'язків.

Істотно, що в разі голономних зв'язків стає можливим описати рух механічних систем в узагальнених координатах , Що входять в рівняння Лагранжа . Число цих рівнянь залежить лише від числа ступенів свободи системи і не залежить від кількості вхідних в систему тіл, положення яких необхідно визначати для повного опису руху.

Якщо ж зв'язку, що діють в системі ідеальні , Тобто в них не відбувається перехід енергії руху в інші види енергії, то при вирішенні рівнянь Лагранжа автоматично виключаються всі невідомі реакції зв'язків.

Нарешті, якщо діючі сили належать до класу потенційних , То при відповідному узагальненні понять стає можливим використання рівнянь Лагранжа не тільки в механіці, але і інших областях фізики. [5]

Діючі на матеріальну точку сили в цьому розумінні однозначно визначають форму траєкторії її руху (при відомих початкових умовах). Протилежне твердження в загальному випадку не справедливо, оскільки одна і та ж траєкторія може мати місце при різних комбінаціях активних сил і реакцій зв'язку.

Рух під дією зовнішніх сил в неінерціальної системи відліку [ правити | правити код ]

Якщо система відліку неінерціальна (тобто рухається з деяким прискоренням щодо інерціальної системи відліку), то в ній також можливе використання виразу (1), проте в лівій частині необхідно врахувати так звані сили інерції (в тому числі, відцентрову силу і силу Коріоліса , Пов'язані з обертанням неінерціальної системи відліку) [4] .

Ілюстрація [ правити | правити код ]

Як приклад, розглянемо працівника театру, який пересувається в колосниковим просторі над сценою по відношенню до будівлі театру рівномірно і прямолінійно і несе над обертається сценою діряве відро з фарбою. Він буде залишати на ній слід від падаючої фарби в формі розкручування спіралі (якщо рухається від центру обертання сцени) і закручується - в протилежному випадку. В цей час його колега, який відповідає за чистоту обертається сцени і на ній знаходиться, буде тому змушений нести під першим недирявое відро, постійно перебуваючи під першим. І його рух по відношенню до будівлі також буде рівномірним і прямолінійним, хоча по відношенню до сцени, яка є неінерціальної системою, його рух буде викривленим і нерівномірним. Більш того, для того, щоб протидіяти знесенню в напрямку обертання, він повинен м'язовим зусиллям долати дію сили Коріоліса , Яке не відчуває його верхній колега над сценою, хоча траєкторії обох в інерціальній системі будівлі театру представлятимуть прямі лінії.

Але можна собі уявити, що завданням розглядаються тут колег є саме нанесення прямої лінії на поворотній сцені. У цьому випадку нижній повинен зажадати від верхнього руху по кривій, що є дзеркальним відображенням сліду від раніше пролитої фарби, залишаючись при цьому над будь-якою точкою прямої, що проходить в обраному радіальному напрямку. Отже, прямолінійний рух в неінерціальної системи відліку нічого очікувати бути таким для спостерігача в інерціальній системі.

Більш того, рівномірний рух тіла в одній системі, може бути нерівномірним в інший. Так, дві краплі фарби, що впали в різні моменти часу з дірявого відра, як у власній системі відліку, так і в системі нерухомого по відношенню до будівлі нижнього колеги (на вже припинила обертання сцені), будуть рухатися по прямій (до центру Землі). Різниця буде полягати в тому, що для нижнього спостерігача це рух буде прискореним, а для верхнього його колеги, якщо він, оступившись, буде падати, рухаючись разом з будь-якої з крапель, відстань між краплями буде збільшуватися пропорційно першого ступеня часу, тобто взаємне рух крапель і їх спостерігача в його прискореної системі координат буде рівномірним зі швидкістю v {\ displaystyle v} , Яка визначається затримкою Δ t {\ displaystyle \ Delta t} між моментами падіння крапель:

v = g Δ t {\ displaystyle v = g \ Delta t} .

Де g {\ displaystyle g} - прискорення вільного падіння .

Тому форма траєкторії і швидкість руху по ній тіла, що розглядається в деякій системі відліку, про яку заздалегідь нічого не відомо, не дає однозначного уявлення про сили, що діють на тіло. Вирішити питання про те, чи є ця система в достатній мірі інерційної, можна лише на основі аналізу причин виникнення діючих сил.

Таким чином, в неінерціальної системи:

• Кривизна траєкторії і / або мінливість швидкості є недостатнім аргументом на користь твердження про те, що на рухоме по ній тіло діють зовнішні сили, які в кінцевому випадку можуть бути пояснені гравітаційними або електромагнітними полями.
• Прямолінійність траєкторії є недостатнім аргументом на користь твердження про те, що на рухоме по ній тіло не діють ніякі сили.

1. ↑ Поняття траєкторії досить наочно можна проілюструвати трасою бобслею . (Якщо за умовами задачі можна знехтувати її шириною). І саме трасою, а не самим бобом .
2. ↑ Так вулиця, на початку якої висить знак «цеглина» залишиться в принципі траєкторією руху по ній. А поїзди різної маси, що рухаються під різними тяговими зусиллями на зчіпних гаках локомотивів і тому з різною швидкістю, будуть рухатися по одній і тій же траєкторії, яка визначається формою рейкового шляху, що накладає на рух невільного тіла (поїзда) конкретні зв'язку , Інтенсивність яких буде в кожному випадку різної
3. ↑ Так, Місяць обертається навколо Землі тільки в системі відліку, пов'язаної з їх загальним центром гравітації (знаходиться всередині Земної куля). У системі ж відліку, початком якої є Сонце, Місяць обертається навколо нього по тій же еліптичній орбіті, що і Земля, але з періодичними відхиленнями від неї на величину відстані від Місяця до Землі. Ніякого взаємного звернення цих небесних тіл в цьому випадку просто немає. Наявність земного тяжіння для пояснення форми траєкторії Місяця в системі координат, пов'язаної з Сонцем, взагалі не обов'язково. Так, зникни Земля, Місяць могла б продовжувати рухатися, як самостійне небесне тіло, по тій же самій старій траєкторії, а її періодичні збурення можна було б тоді в якості гіпотези пояснити зміною сили тяжіння, скажімо, за рахунок варіації маси Сонця через пульсації його світності (що, до речі, і спостерігається в певних межах насправді). І обидві згадані форми траєкторії істинні і обидва пояснення їх форми на підставі правильно проведеного аналізу діючих сил справедливі. Але вони виключають один одного, як виключається можливість одночасного розгляду при виборі тієї чи іншої системи координат.
4. ↑ 1 2 С. Е. Хайкін . Сили інерції і невагомість. М., 1967 г. Видавництво «Наука». Головна редакція фізико-математичної літератури.
5. ↑ Фізичний енциклопедичний словник / Гол. ред. А. М. Прохоров. Ред.кол. Д. М. Алексєєв, А. М. Бонч-Бруєвич, А. С. Боровик-Романов та ін. М.: Сов.енціклопедія, 1983. - 323 с., Іл, 2 л.цв.іл. сторінка 282.

У фізиці є ще одна формула вимірювання траєкторії (шляху): s = 4Atv, де A - амплітуда, t - час, v - частота коливань

• Ньютон І. Математичні початки натуральної філософії. Пер. і прим. А. Н. Крилова. М .: Наука, 1989
• Фріш С. А. та Тіморева А. В. Курс загальної фізики, Підручник для фізико-математичних та фізико-технічних факультетів державних університетів, Том I. М .: ГІТТЛ, 1957