📌 Геометрія Лобачевського - це ... 🎓 Що таке Геометрія Лобачевського?

1. Історія
2. Створення неевклідової геометрії
3. Затвердження геометрії Лобачевського
4. моделі
5. псевдосфера
6. модель Клейна
7. модель Пуанкаре
8. Поверхня постійної негативної кривизни
9. Зміст геометрії Лобачевського
10. Заповнення площини і простору правильними політопа
11. додатки
12. Див. також
13. праці основоположників

Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія) - одна з неевклідових геометрій , Геометрична теорія, заснована на тих же основних посилках, що і звичайна евклідова геометрія , за винятком аксіоми про паралельних , Яка замінюється на аксіому про паралельних Лобачевського .

Евклидова аксіома про паралельних (точніше, одне з еквівалентних їй тверджень) говорить:

Через точку, що не лежить на даній прямій, проходить не більше однієї прямої, що лежить з даною прямою в одній площині і не перетинає її.

В геометрії Лобачевського, замість неї приймається наступна аксіома:

Через точку, що не лежить на даній прямій, проходять принаймні дві прямі, що лежать з даною прямою в одній площині і не перетинають її.

Широко поширена помилка, що в геометрії Лобачевського паралельні прямі перетинаються [1] . Геометрія Лобачевського має обширні вживання як в математиці, так і в фізиці. Історичне і філософське її значення полягає в тому, що її побудовою Лобачевський показав можливість геометрії, відмінної від евклідової , Що знаменувало нову епоху в розвитку геометрії , Математики та науки взагалі.

Історія

Спроби докази п'ятого постулату

Відправним пунктом геометрії Лобачевського послужив V постулат Евкліда - аксіома, еквівалентна аксіомі про паралельних . Він входив до списку постулатів в «Початки» Евкліда . Відносна складність і неінтуітівнимі його формулювання викликала відчуття його вторинності і породжувала спроби вивести його як теорему з інших постулатів Евкліда.

Серед багатьох намагалися довести п'ятий постулат були, зокрема, такі великі вчені.

• давньогрецькі математики Птолемей ( II ст. ) і Прокл ( V ст. ) (Грунтувався на припущенні про кінцівки відстані між двома паралельними).
• Ібн аль-Хайсам з Іраку (кінець X - початок XI ст.) (грунтувався на припущенні, що кінець рухомого перпендикуляра до прямої описує пряму лінію).
• іранські математики Омар Хайям (2-я половина XI - початок XII ст.) і Насир ад-Дін ат-Тусі ( XIII в. ) (Грунтувалися на припущенні, що дві сходяться прямі не можуть при продовженні стати розбіжними без перетину).
• Першу в Європі відому нам спробу докази аксіоми паралельності Евкліда запропонував жив в Провансі (Франція) Герсонід (він же Леві бен Гершем, XIV століття ). Його доказ спиралося на твердження про існування прямокутника [2] .
• німецький математик Клавіус ( 1574 ).
• італійські математики
• англійський математик Валліс ( 1663 , Опубліковано в 1693 ) (Грунтувався на припущенні, що для будь-якої фігури існує їй подібна, але не рівна фігура).
• французький математик Лежандр ( 1800 ) (Грунтувався на припущенні, що через кожну точку всередині гострого кута можна провести пряму, що перетинає обидві сторони кута, і в нього також були інші спроби докази).

При цих спробах докази п'ятого постулату математики вводили (явно або неявно) якийсь новий твердження, що здавалося їм більш очевидним.

Були зроблені спроби використовувати доказ від протилежного:

• італійський математик Саккери ( 1733 ) (Сформулювавши суперечить постулату твердження, він вивів ряд наслідків і, помилково визнавши частину з них суперечливими, він вважав постулат доведеним),
• німецький математик Ламберт (близько 1 766 , Опубліковано в тисяча сімсот вісімдесят шість ) ( провівши дослідження , Він визнав, що не зміг виявити в побудованій ним системі протиріччя).

Нарешті, стало виникати розуміння про те, що можлива побудова теорії, заснованої на протилежному постулаті:

• німецькі математики Швейкарт ( 1818 ) і Таурінус ( 1 825 ) (Однак вони не усвідомили, що така теорія буде логічно настільки ж стрункою).

Створення неевклідової геометрії

Лобачевський в роботі «Про основи геометрії» ( 1829 ), Першої його друкованої роботі по неевклідової геометрії, ясно заявив, що V постулат не може бути доведений на основі інших посилок евклідової геометрії, і що припущення постулату, протилежного постулату Евкліда, дозволяє побудувати геометрію настільки ж змістовну, як і евклидова, і вільну від протиріч.

Одночасно і незалежно до аналогічних висновків дійшов Янош Бойяи , а Карл Фрідріх Гаус прийшов до таких висновків ще раніше. Однак праці Бойяи залучили уваги, і він незабаром залишив цю тему, а Гаусс взагалі утримувався від публікацій, і про його погляди можна судити лише по декілька листів і щоденникових записів. Наприклад, в листі 1846 року астроному Г. Х. Шумахеру Гаусс так відгукнувся про роботу Лобачевського:

Цей твір містить в собі підстави тієї геометрії, яка повинна була б мати місце і при тому становила б строго послідовне ціле, якби евклідова геометрія не була б справжньою ... Лобачевський називає її «уявною геометрією»; Ви знаєте, що вже 54 роки (з 1792 р) я поділяю ті ж погляди з деяких розвитком їх, про який не хочу тут згадувати; таким чином, я не знайшов для себе в творі Лобачевського нічого фактично нового. Але в розвитку предмета автор слідував не тим шляхом, по якому йшов я сам; воно виконано Лобачевским майстерно в істинно геометричному дусі. Я вважаю себе зобов'язаним звернути Вашу увагу на цей твір, яке, напевно, принесе Вам абсолютно виняткову насолоду. [3]

В результаті Лобачевський виступив як перший найбільш яскравий і послідовний пропагандист нової геометрії. Хоча геометрія Лобачевського розвивалася як умоглядна теорія, і сам Лобачевський називав її «уявною геометрією», проте саме він вперше відкрито запропонував її не як гру розуму, а як можливу і корисну теорію просторових відносин. Однак доказ її несуперечності було дано пізніше, коли були вказані її інтерпретації (моделі).

Затвердження геометрії Лобачевського

Лобачевський помер в 1856 році . Через кілька років було опубліковано листування Гаусса, в тому числі кілька захоплених відгуків про геометрію Лобачевського, і це привернуло увагу до праць Лобачевського. З'являються переклади їх на французьку та італійську мови, коментарі видатних геометрів. Публікується і праця Бойяи .

В 1868 році виходить стаття Е. Бельтрамі про інтерпретації геометрії Лобачевського. Бельтрами визначив метрику площині Лобачевського і довів, що вона має всюди постійну негативну кривизну. Така поверхня тоді вже була відома - це псевдосфера Міндінг . Бельтрами зробив висновок, що локально площину Лобачевського изометрична ділянці псевдосфери (див. Нижче). Остаточно несуперечливість геометрії Лобачевського була доведена в 1871 році , Після появи моделі Клейна .

Вейерштрасс присвячує геометрії Лобачевського спеціальний семінар в Берлінському університеті ( 1870 ). Казанське фізико-математичне товариство організовує видання повного зібрання творів Лобачевського, а в 1893 році сторіччя російського математика відзначається в міжнародному масштабі.

моделі

Моделі геометрії Лобачевського дали доказ її несуперечності, точніше показали, що геометрія Лобачевського настільки ж несуперечлива, як геометрія Евкліда.

Сам Лобачевський дав основи своєї аналітичної геометрії, і тим самим він вже фактично намітив таку модель. Він також зауважив що орисфере в просторі Лобачевського изометрична евклідової площини, тим самим фактично запропонував зворотний модель. Проте, саме поняття про модель прояснилося в роботах Клейна та інших.

псевдосфера

італійський математик Е. Бельтрамі в 1868 році помітив, що геометрія на шматку площині Лобачевського збігається з геометрією на поверхнях постійної негативної кривизни, простий приклад яких представляє псевдосфера . Якщо точкам і прямим на кінцевому шматку площині Лобачевського зіставляти точки і найкоротші лінії ( геодезичні ) На псевдосфері і руху в площині Лобачевського зіставляти переміщення фігури по псевдосфері з зігнутися, тобто деформацією, що зберігає довжини, то всякій теоремі геометрії Лобачевського відповідатиме факт, що має місце на псевдосфері. При цьому довжини, кути, площі розуміються в сенсі природного виміру їх на псевдосфері.

Однак тут дається тільки локальна інтерпретація геометрії, тобто на обмеженій ділянці, а не на всій площині Лобачевського.

модель Клейна

В 1871 році Клейн запропонував першу повноцінну модель площині Лобачевського.

Площиною служить внутрішність круга, прямий - хорда кола без решт, а точкою - точка всередині кола. «Рухом» назвемо будь-яке перетворення круга в самого себе, яке переводить хорди в хорди. Відповідно, рівними називаються фігури усередині круга, переводяться одна в іншу такими перетвореннями. Тоді виявляється, що будь-який геометричний факт, описаний на такому мові, представляє теорему або аксіому геометрії Лобачевського. Іншими словами, будь-яке твердження геометрії Лобачевського на площині є не що інше, як твердження евклідової геометрії, що відноситься до фігур усередині круга, лише переказане в зазначених термінах. Евклидова аксіома про паралельних тут явно не виконується, так як через точку , Що не лежить на даній хорді а (тобто «прямій»), проходить скільки завгодно що не перетинають її хорд ( «прямих») (наприклад, , ).

У цій моделі відстань між точками і на хорді визначається через подвійне ставлення

модель Пуанкаре

пізніше Пуанкаре , В зв'язку з завданнями теорії функцій комплексного змінного дав іншу модель. За площину Лобачевського приймається внутрішність круга, прямими вважаються дуги кіл, перпендикулярних колу даного круга, і його діаметри, рухами - перетворення, одержувані комбінаціями інверсій щодо кіл, дуги яких служать прямими.

Модель Пуанкаре чудова тим, що в ній кути зображаються звичайними кутами.

Поверхня постійної негативної кривизни

Інша аналітичне визначення геометрії Лобачевського полягає в тому, що геометрія Лобачевського визначається як геометрія ріманова простору постійної негативної кривизни. Це визначення було фактично дано ще в 1854 році Ріманом і включало модель геометрії Лобачевського як геометрії на поверхнях постійної кривизни. Однак Риму не пов'язав прямо своїх побудов з геометрією Лобачевського, а його доповідь, в якому він про них повідомив, не був зрозумілий і був опублікований лише після його смерті (в 1868 році ).

Зміст геометрії Лобачевського

Лобачевський будував свою геометрію, вирушаючи від основних геометричних понять і своєї аксіоми, і доводив теореми геометричним методом, подібно до того, як це робиться в геометрії Евкліда. Основою служила теорія паралельних ліній, так як саме тут починається відміну геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда. Всі теореми, не залежні від аксіоми про паралельних, є загальними для обох геометрій; вони утворюють так звану абсолютну геометрію , До якої відносяться, наприклад, теореми про рівність трикутників. Слідом за теорією паралельних будувалися інші розділи, включаючи тригонометрію і початку аналітичної і диференціальної геометрії.

Наведемо (в сучасних позначеннях) кілька фактів геометрії Лобачевського, що відрізняють її від геометрії Евкліда і встановлених самим Лобачевським.

Через точку P, що не лежить на даній прямій R (див. Малюнок), проходить нескінченно багато прямих, що не перетинають R і знаходяться з нею в одній площині; серед них є дві крайні x, y, які і називаються паралельними прямою R в сенсі Лобачевського. У моделях Клейна (Пуанкаре) вони зображуються хордами (дугами кіл), що мають з хордою (дугою) R загальний кінець (який за визначенням моделі виключається, так що ці прямі не мають спільних точок).

кут між перпендикуляром PB з P на R і кожної з паралельних (званий кутом паралельності) в міру віддалення точки P від прямої убуває від 90 ° до 0 ° (в моделі Пуанкаре кути в звичайному сенсі збігаються з кутами в сенсі Лобачевського, і тому на ній цей факт можна бачити безпосередньо). Паралель x з одного боку (а y з протилежного) асимптотично наближається до а, а з іншого - нескінченно від неї віддаляється (в моделях відстані визначаються складно, і тому цей факт безпосередньо не видно).

Для точки, що знаходиться від заданої прямої на відстані PB = a (див. Малюнок), Лобачевський дав формулу для кута паралельності П (a) [4] :

Тут q - деяка постійна, пов'язана з кривизною простору Лобачевського. Вона може служити абсолютної одиницею довжини аналогічно тому, як в сферичної геометрії особливе положення займає радіус сфери.

Якщо прямі мають загальний перпендикуляр, то вони нескінченно розходяться в обидві сторони від нього. До будь-якої з них можна відновити перпендикуляри, які не досягають іншої прямої.

В геометрії Лобачевського не існує подібних, але нерівних трикутників; трикутники рівні, якщо їх кути рівні.

Сума кутів всякого трикутника менше і може бути як завгодно близькою до нуля. Це безпосередньо видно на моделі Пуанкаре. різниця , де , , - кути трикутника, пропорційна його площі:

З формули видно, що існує максимальна площа трикутника, і це кінцеве число: .

Лінія рівних відстаней від прямій не є прямий, а особлива крива, звана еквідістантой , Або гіперциклом.

Межа кіл нескінченно зростаючого радіусу не їсти пряма, а особлива крива, звана граничної окружністю, або орициклом .

Межа сфер нескінченно зростаючого радіусу не їсти площину, а особлива поверхня - гранична сфера, або орисфере ; чудово, що на ній має місце евклідова геометрія. Це служило Лобачевському основою для виведення формул тригонометрії.

Довжина кола не пропорційно радіусу, а зростає швидше. Зокрема, в геометрії Лобачевського число не може бути визначено як відношення довжини кола до її діаметру.

Чим менше область в просторі або на площині Лобачевського, тим менше геометричні співвідношення в цій області відрізняються від співвідношень евклідової геометрії. Можна сказати, що в нескінченно малої області має місце евклідова геометрія. Наприклад, чим менше трикутник, тим менше сума його кутів відрізняється від ; чим менше коло, тим менше відношення її довжини до радіусу відрізняється від , І т. П. Зменшення області формально рівносильно збільшенню одиниці довжини, тому при безмежному збільшенні одиниці довжини формули геометрії Лобачевського переходять у формули евклідової геометрії. Евклідова геометрія є в цьому сенсі «граничний» випадок геометрії Лобачевського.

Заповнення площини і простору правильними політопа

Площина Лобачевського може бути вимощена не тільки правильними трикутниками , квадратами і шестикутниками , А й будь-якими іншими правильними багатокутниками . При цьому в одній вершині паркету має сходитися не менше 7 трикутників, 5 квадратів, 4 п'яти- і шестикутників і 3 багатокутників з числом сторін більш 6. Кожне замощення (В одній вершині сходиться M N-кутників) вимагає строго певного розміру одиничного N-кутника, зокрема, його площа повинна дорівнювати:

На відміну від звичайного простору, яке можна заповнити правильними многогранниками тільки одним способом (по 8 кубів в вершині), тривимірний простір Лобачевського можна заповнити правильними многогранниками чотирма способами:

Крім цього, існує 11 способів заповнити простір Лобачевського правильними мозаїчними орисфере.

додатки

• Сам Лобачевський застосував свою геометрію до обчислення певних інтегралів .
• У теорії функцій комплексного змінного геометрія Лобачевського допомогла побудувати теорію автоморфних функцій . Зв'язок з геометрією Лобачевського була тут відправним пунктом досліджень Пуанкаре , Який писав, що «неевклидова геометрія є ключ до вирішення всієї завдання».
• Геометрія Лобачевського знаходить застосування також в теорії чисел , В її геометричних методах, об'єднаних під назвою « геометрія чисел ».
• Була встановлена ​​тісний зв'язок геометрії Лобачевського з кінематикою спеціальної (приватної) теорії відносності . Цей зв'язок заснована на тому, що рівність, що виражає закон поширення світла

при розподілі на , Тобто для швидкості світла, дає - рівняння сфери в просторі з координатами , , - складовими швидкості по осях х, у, z (у «просторі швидкостей»). перетворення Лоренца зберігають цю сферу і, так як вони лінійні, переводять прямі простору швидкостей в прямі. Отже, відповідно до моделі Клейна, в просторі швидкостей усередині сфери радіусу з, тобто для швидкостей, менших швидкості світла, має місце геометрія Лобачевського.

• Чудове додаток геометрія Лобачевського знайшла в загальної теорії відносності . Якщо вважати розподіл мас матерії у Всесвіті рівномірним (це наближення в космічних масштабах допустимо), то виявляється можливим, що при певних умовах простір має геометрію Лобачевського. Таким чином, припущення Лобачевського про його геометрії як можливої ​​теорії реального простору виправдалося.
• За допомогою моделі Клейна, дається дуже просте і коротке доказ теореми про метелику в геометрії Евкліда.

Див. також

Примітки

1. ↑ Паралельні прямі - в міфології, реальності та математики Успенський В. А. Апологія математики, глава 8
2. ↑ Розенфельд Б. А. Докази п'ятого постулату Евкліда середньовічних математиків Хасана ібн ал-Хайсама і Льва Герсоніда. - М.: ІМІ, 1958. - Т. XI. - С. 733-742.
3. ↑ Про підстави геометрії. Збірник класичних робіт по геометрії Лобачевського і розвитку її ідей. М .: Гостехиздат, 1956, С.119-120.
4. ↑ Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX століття. М .: Наука, том II, с. 62.

праці основоположників

література

• Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрія, - Наука, Москва, 1990.
• Александров П. С. Що таке неевклідова геометрія, - УРСС, Москва, 2007.
• Делоне Б. Н. Елементарне доказ несуперечності планіметрії Лобачевского, - Гостехиздат, Москва, 1956.
• Иовлев Н. Н. «Введення в елементарну геометрію і тригонометрію Лобачевського» . - М.-Л .: Гіз., 1930. - С. 67.
• Клейн Ф. «Неевклидова геометрія» . - М.-Л .: ОНТИ, 1936. - С. 356.
• Попов А. Г. Псевдосферіческіе поверхні // Соросівський освітній журнал . - ISSEP, 2004. - Т. 8. - № 2. - С. 119-127.
• Розенфельд Б. А. Інтерпретації геометрії Лобачевського // Історико-математичні дослідження . - М.: ГІТТЛ, 1956. - № 9. - С. 169-208.
• Смогоржевський А. С. «Про геометрії Лобачевського» // Популярні лекції з математики . - Гостехиздат, 1958. - Т. 23. - С. 68.
• Шафаревич І. Р. , Ремізов А. О. Лінійна алгебра і геометрія, - Фізматліт, Москва 2009.

посилання