Все життя Фелікс Хаусдорф був позбавлений від турбот про матеріальне забезпечення своєї родини і присвятив своє життя математики та літератури.
Закінчивши Лейпцизький університет (1891), Хаусдорф захистив там дисертацію. З 1895 року він - доцент, з 1902 року - професор Лейпцігського університету. У 1910 - 1912 роках і в 1921 - 1935 роках - професор Боннського університету, в 1913 - 1921 роках - професор університету в Грейфсвальде.
До 34-річного віку Хаусдорф поряд з математикою захоплювався астрономією, а також літературою і філософією. У цей період він (під псевдонімом Поль Монгрі) видав дві книги віршів і афоризмів, філософський трактат «Хаос і космічний вибір» (1898), збірка філософських і літературних есе, а в 1904 році - мав гучний успіх фарс «Лікар його величності».
Приблизно з 1902 року, після отримання професорського звання, Хаусдорф повністю присвятив себе математиці, багато областей якої він збагатив принципово новими ідеями і підходами.
Починаючи з книги «Основи теорії множин» (1914), Хаусдорф приступив до систематичного пошуку шляхів вирішення найважчих парадоксів, серйозно гальмували розвиток в цій найважливішій галузі математики, і домігся вирішальних зрушень за допомогою введення загальних понять - частково впорядкованої множини і заходи безлічі. В теорії множин Хаусдорф повністю вирішив (одночасно з П.С. Александровим і незалежно від нього) проблему потужності борелевих множин, побудував теорію заходи (міра Xаусдорфа) в просторах багатьох вимірів, розробив теорію впорядкованих множин, зокрема вперше довів лемму Цорна.
У функціональному аналізі Хаусдорфу належить відкрила нові напрямки дослідження теорія абстрактних просторів, тобто безлічі довільних елементів, для яких тим чи іншим способом встановлено відношення (поняття) близькості.
Хаусдорф є засновником загальної топології і загальної теорії метричних просторів, які завдяки йому, особливо його теорії топологічних просторів, зайняли центральне місце в сучасній математиці.
Фундаментальні результати були отримані Хаусдорфа також в математичному аналізі, теорії безперервних груп, в теорії чисел і інших областях математичної науки. 
Меморіальна дошка біля входу в Математичний інститут Боннського університету: «У цьому університеті з 1921 по 1935 рік працював математик Фелікс Хаусдорф (8.11.1868-26.1.1942). Він помер з вини націонал-соціалістів через те, що був євреєм. В його особі ми вшановуємо пам'ять усіх жертв тиранії. Нехай ніколи не повториться диктатура і війна! ».
У 1933 році, до влади в Німеччині прийшов Гітлер, і німецький уряд видало Закон про державну службу. Ідея цього закону була простою: "неарійцями - геть!" Викладачі в Німеччині були державними службовцями, і ідея, стосовно них, виражалася просто: "Арійських студентів повинні вчити арійські професора".
Хаусдорф сподівався, що як шановний професор університету, він буде позбавлений від переслідування. Однак, абстрактна математика була засуджена як «єврейська і даремна», визнана «Не німецької».
У Геттінгені, наприклад, національна політика Третього рейху усунула таких людей як Річард Курант, Едмунд Ландау, Еммі Нетер і Герман Вейль - і це не повний список. Багато з них належали до школи Давида Гільберта, де не дозволялося ніяким упередженням: національними, расовими або сексуальним - впливати на вибір студентів і співавторів; з ентузіазмом і наполегливістю вдалося перетворити Геттінген в математичний центр усього світу. Всього кілька місяців, і від Геттінгена не залишилося практично нічого. "Коли я був молодий '', - сказав Гільберт, якому тоді був 71 рік, -" я вирішив, що я ніколи не повторю те, що чув від багатьох старших людей: "це були хороші часи, не те, що зараз '' . Я вирішив, що ніколи не сказав би це, якби був старим. Але тепер немає виходу, залишається тільки сказати це ''.
Закон від 7 квітня передбачав, проте, деякі винятки: не чіпали тих євреїв, які вважалися німецькими патріотами, наприклад, в тому випадку, коли вони брали участь в якості солдатів у Першій світовій війні. Тоді вони могли залишатися державними службовцями.
Це був випадок Хаусдорфа. Він ніколи не приховував свого єврейського походження. Не можна сказати, що його праці рясніють релігійними питаннями, немає, і у нього набагато більше сторінок, присвячених східних релігій, ніж іудаїзму або християнства. Його дружина, Шарлотта Гольдшмідт (вони одружилися в 1899 році, і у них була дочка Ленор) в молодості перейшла в лютеранство.
Можливо, якби Хаусдорфа звільнили з Боннського університету, для нього і його дружини все було б інакше. Але Хаусдорф вважався патріотом, який в молодості, відразу після закінчення навчання, служив кілька років в якості добровольця в німецькій піхоті. Там він дослужився до звання віце-фельдфебеля. Так що був застосований закон від 7 квітня, і він залишався професором в Бонні, поки не пішов на пенсію за віком в березні 1935 р
У 1935 році Хаусдорф був фактично вигнаний нацистським урядом з Боннського університету, а й після цього продовжував активно працювати, головним чином з проблем теорії груп Лі і теорії множин. У ці роки його наукові статті публікувалися лише за межами Німеччини. У цей період Хаусдорф піддавався переслідуванням гітлерівців через свого походження. 
Могила сім'ї Хаусдорф в Бонні
Спроби отримати грант в США, що дають можливість емігрувати і жити за рубежами Німеччини виявилися марними.
Над вченим постійно нависала загроза бути депортованим в концентраційний табір для євреїв. Про тих муках, яким піддавалися в таборах люди, Хаусдорф знав.
У квітні 1941 року колега Хаусдорфа писав про нього і його дружині: "У Хаусдорф все непогано, але природно, не вдається уникнути приниження і занепокоєння, які викликає антисемітське законничество. Фіскальний і монетарний збори, які накладаються на них, настільки високі, що вони не можуть жити на свою пенсію і повинні були використовувати свої заощадження, які, на щастя, до цих пір збереглися. Вони також були змушені поступитися частиною свого будинку, і там живе зараз занадто багато людей [...] Звичайно, радує, що все ще приходить один музикант грати з Хаусдорфа. По крайней мере, це приносить в їх будинок трохи радості. ''
У жовтні 1941 року Хаусдорф і його дружина були змушені носити жовті зірки Давида - знак ізгоя, і до кінця року вони отримали звістку, що будуть депортовані в Кельн: це було початком відправки в концтабори, які Гітлер побудував в Польщі. Здавалося, загроза зникла в Новий рік, але тільки щоб дати місце новій: в середині січня сказали, що 29 січня вони будуть розміщені в передмісті Бонна - Енденіхе. Це знову ж таки був перший крок відправки в концтабір.
У січні 1942 року Хаусдорфу стало відомо про майбутню неминучої депортації його сім'ї в концтабір. Зберігся лист, яке Хаусдорф написав у неділю, 25 січня 1942 У ньому він писав: "Auch Endenich ist noch vielleicht das Ende nich ''. Ця фраза є моторошним каламбур слів "Endenich '', район Бонна, і" Ende '' і "Nicht '', що означає" кінець '' і "немає '':" Не дивлячись на це, Енденіх, може бути, ще не кінець ''. Будучи музикантом-аматором, Хаусдорф, звичайно, знав, що в Енденіхе був божевільний будинок доктора Ріхарца, можливо, вже не існуючий в 1942 році. Ув'язненим в цьому похмурому місці, композитор Роберт Шуман (1810-1856) провів останні два роки свого життя. Справді погана прикмета.
Таким чином, "Незважаючи на це, Енденіх, може бути, ще не кінець '' - каламбур. Один з найбільш повних жорстокою іронією каламбурів, коли-небудь написаних, тому що Хаусдорф вирішив покінчити життя самогубством: "До того часу, коли ви отримаєте ці рядки, '' - написано в листі від 25 січня, -" ми вирішимо нашу проблему, хоча від цього ви невпинно намагалися нас відмовити [...] Те, що було зроблено проти євреїв в останні місяці, виконало нас страшного горя, тому що це призвело до нестерпної ситуації [...] Подякуйте від щирого серця пана Майєра, за все, що він зробив для нас, також і за те, що, безумовно, зробив би. Ми щиро захоплюємося досягненнями і успіхами його організації і, якби не було цієї печалі, ми допомогли б йому. Упевнений, що ми б відчували почуття відносної безпеки, але, на жаль, все одно це ненадійно (Хаусдорф мав рацію: ця людина, Майер, адвокат, помер в Освенцимі) [...] Якщо це можливо, ми хочемо, щоб нас кремували . Я докладаю три заяви про це. Якщо це неможливо, нехай пан Майєр або пан Гольдшмідт зроблять те, що можна (врахуйте, що мої дружина і своячка лютерани). Вам доведеться оплатити всі витрати: моя дружина вже оплатила витрати на своє поховання в протестантській церкві (документи знайдете в її спальні). Відсутня принесе моя дочка Нора. Змилуйтеся над занепокоєння навіть після смерті. Я впевнений, що вона зробить те, що зможе, може бути, не так багато. Вибачте наше дезертирство! Бажаємо вам і всім нашим друзям кращого майбутнього ''. 
Вулиця Хаусдорф-штрассе в Бонні
У прощальному листі, яке Хаусдорф написав вранці перед смертю, звучить гасло Заратустри. "Помри вчасно! ''
У ніч на неділю 25 січня 1942 року Хаусдорф разом з дружиною Шарлоттою і її сестрою Едіт взяли смертельну дозу снодійного. До ранку 26 січня їх були мертві. Їх останки кремували, а прах поховали на кладовищі Поппельсдорф в Бонні, Німеччина.
Фелікс Хаусдорф ввів і вперше досліджував важливі топологічні поняття хаусдорфова простору (1914), топологічного межі, частково впорядкованої множини, а також Гаусдорфів розмірності (1919). Також визначив метрику Хаусдорфа (1914).
Хаусдорф вніс також великий внесок в теорію множин, функціональний аналіз, теорію топологічних груп і теорію чисел.
Перед смертю Хаусдорф написав листа своєму другові і адвокату Гансу Вольштейн, яке закінчувалося словами:
«... Вибачте нас і наше дезертирство! Ми бажаємо Вам і всім нашим друзям випробувати найкращі часи. З найглибшою пошаною Фелікс Хаусдорф. »
Цього побажання не судилося збутися: Ганс Вольштейн був убитий в Освенцімі.
На згадку про Хаусдорф названі:
• Астероїд,
• центр математики в Бонні (заснований в 2006 році),
• науково-дослідний інститут математики в Бонні,
• міжнародний науковий центр в Грейфсвальде,
• вулиці в Бонні і Лейпцигу.
Ім'я Хаусдорфа носять такі математичні об'єкти:
• теорема Хаусдорфа,
• парадокс Хаусдорфа,
• хаусдорфово простір,
• хаусдорфова топологія,
• метрика Хаусдорфа,
• розмірність Хаусдорфа,
• збіжність Громова - Хаусдорфа,
• проблема моментів Хаусдорфа,
• рішення Бейкера - Кемпбелла - Хаусдорфа.
У 2014 році виповнилося 100 років з часу видання книги Фелікса Хаусдорфа "Основи теорії множин '' (Grundzüge der Mengenlehre) німецькою мовою. Крім того що ця книга є введенням в теорію множин, вона вважається основоположною в топології.
Без сумніву, вершиною якої складності є поняття Гаусдорфів розмірності. Таким чином, він розширив класичне поняття розмірності, що дозволило більш точно класифікувати об'єкти. Так, фрактали - вельми складні об'єкти, які в останній чверті ХХ століття зробив відомими і популярними Бенуа Мандельброт, - точно описуються як безлічі, для яких розмірність Хаусдорфа не є натуральним числом.
Хаусдорф також вважається попередником введення поняття "недосяжних кардиналів ''. Це нескінченні безлічі є повною абстракцією, в їх назві зовсім виразно міститься іронія. Характеристика, яка їх визначає, - їх незвичайна неозорість; але їх безформна огром робить їх настільки неймовірними, що невідомо, чи дійсно вони існують. В цьому і полягає іронія: бути настільки гігантськими, щоб не було можливості побачити їх навіть подумки!
В математиці Хаусдорфа можна знайти не тільки складність або іронію, вона також суперечить нашим відчуттям. Звичайно, вершиною протиріч є опис Хаусдорфа в книзі "Основи теорії множин '' парадоксального розбиття сферичної поверхні. Десять років по тому, грунтуючись на цьому, польські математики Банах і Тарський запропонували розділити твердий куля на шматки, наприклад, на п'ять шматків, і отримати, склавши їх, дві кулі, такі ж, як і вихідний. Або інакше, взявши горошину, розділити її на шматки, щоб склавши їх належним чином отримати твердий куля розміром з Сонце. Це математична версія Євангельського множення хлібів і риб.
Як уже зазначалося, у Хаусдорфа були і інші інтелектуальні інтереси, крім математики. Будучи підлітком, він хотів вчитися музиці і стати композитором, і хоча пізніше він вибрав інший шлях, він написав кілька п'єс і був хорошим піаністом.
Хаусдорф писав вірші, філософські есе і сатиричні п'єси. Літературою він займався в основному в 1896-1906 роки. Він перебував під сильним впливом філософів Ніцше і Шопенгауера і постулював перевага певної елітарної індивідуальності над справедливим суспільством. У своїх книгах Хаусдорф часто перериває вдумливі філософські міркування роздумами, скажімо, менш піднесеними, про егоїзм, любові, пристрасті, про музику Моцарта чи про гіпноз. Нескладно знайти в його працях вплив Фрейда. Один з його афоризмів говорить: "Коли у нас немає жінки, щоб її любити, ми любимо людство, науку або вічність [...] Ідеалізм, який завжди вказує на відсутність чого-небудь кращого, є заміною еротики ''.
Його п'єса для театру розповідає історію прусського архітектора, ідеаліста, який спокусив дружину державного радника і повинен був битися з ним на дуелі. Але коли настав встановлений день і годину, дуель довелося відкласти через тривожного стану алкогольного сп'яніння, в якому знаходилися обидва учасники та їх секунданти. В результаті скандалу радник втрачає свою роботу, але примиряється зі своєю дружиною. П'єса була поставлена в Берліні і Гамбурзі, і, за повідомленнями місцевих джерел, була зустрінута тепло.
