Білий шум

1. Вектор випадкових чисел [ правити | правити код ]
2. Білий випадковий процес (білий шум) [ правити | правити код ]

Білий шум - стаціонарний шум , Спектральні складові якого рівномірно розподілені по всьому діапазону задіяних частот. Прикладами білого шуму є шум близького водоспаду [1] (Віддалений шум водоспаду - рожевий , Так як високочастотні складові звуку загасають в повітрі сильніше низькочастотних), або дробовий шум на клемах великого опору, або шум стабилитрона , Через який протікає дуже малий струм. Назву отримав від білого світла , Що містить електромагнітні хвилі частот всього видимого діапазону електромагнітного випромінювання. Крім білого, існують шуми багатьох квітів .

У природі і техніці «чисто» білий шум (тобто білий шум, який має однакову спектральну потужність на всіх частотах) не зустрічається (з огляду на те, що такий сигнал мав би нескінченну потужність), проте під категорію білих шумів потрапляють будь-які шуми, спектральна щільність яких однакова (або слабо відрізняється) в розглянутому діапазоні частот.

Термін «білий шум» зазвичай застосовується до тону, що має автокорреляционную функцію , Математично описується дельта-функцією Дірака по всіх вимірах багатовимірного простору, в якому цей сигнал розглядається. Сигнали, що володіють цією властивістю, можуть розглядатися як білий шум. Дане статистичне властивість є основним для сигналів такого типу.

Те, що білий шум некорреліровани по часу (Або по іншому аргументу), не визначає його значень у тимчасової (або будь-який інший розглянутої аргументної) області . Набори, що приймаються сигналом, можуть бути довільними з точністю до головного статистичного властивості (проте постійна складова такого сигналу повинна бути дорівнює нулю). Наприклад, послідовність символів 1 і -1, помножена на послідовність дельта-функцій, що слідують з частотою слідування символів, буде білим шумом тільки якщо послідовність символів буде некорреліровани. Сигнали, які мають безперервний розподіл (наприклад, нормальний розподіл ), Також можуть бути білим шумом.

Дискретний білий шум - це просто послідовність незалежних (тобто статистично не пов'язаних один з одним) чисел. З використанням генератора псевдовипадкових чисел пакету Visual C ++, дискретний білий шум можна отримати так:

x [i] = 2 * ((rand () / ((double) RAND_MAX)) - 0.5)

В даному випадку x - масив дискретного білого шуму (без нульовий частотної складової), що має рівномірний розподіл від -1 до 1.

Іноді помилково передбачається, що гауссовий шум (Тобто шум з гаусовим розподілом його значень - см. нормальний розподіл ) Еквівалентний білого шуму. Однак ці поняття не еквівалентні. Гауссовий шум передбачає розподіл значень сигналу у вигляді нормального розподілу, тоді як термін «білий» має відношення до кореляції сигналу в два різних моменту часу (ця кореляція не залежить від розподілу значень шуму). Білий шум може мати будь-який розподіл - як Гаусса , Так і розподіл Пуассона , Коші і т. д. гауссова білий шум в якості моделі добре підходить для математичного опису багатьох природних процесів (див. Адитивний білий гауссовий шум ).

Для зручності опису в фізиці введені терміни, що приписують шумовим сигналами різні кольори в залежності від їх статистичних властивостей, наприклад, рожевий шум або синій шум .

Білий шум знаходить безліч застосувань в фізики і техніці . Одне з них - в архітектурній акустиці . Для того щоб приховати небажані шуми у внутрішніх просторах будівель, генерується стаціонарний білий шум малої потужності.

В електронній музиці білий шум використовується як в якості одного з інструментів музичного аранжування, так і в якості вхідного сигналу для спеціальних фільтрів, які формують шумові сигнали інших типів. Широко застосовується також при синтезі аудіосигналів, зазвичай для відтворення звучання ударних інструментів , таких як тарілки .

Останнім часом багато педіатри рекомендують використовувати звуки білого шуму для заспокоєння і хорошого сну немовлят; передбачається, що в матці маля постійно чув білий шум: стук серця матері, роботу шлунка, шум крові в судинах. [ Джерело не вказано 617 днів ].

Білий шум використовується для вимірювання частотних характеристик різних лінійних динамічних систем , таких як підсилювачі , електронні фільтри , дискретні системи управління і т. д. При подачі на вхід такої системи білого шуму на виході отримуємо сигнал, який є відгуком системи на прикладена вплив. З огляду на те що комплексна частотна характеристика лінійної системи є ставлення перетворення Фур'є вихідного сигналу до перетворення Фур'є вхідного сигналу, отримати цю характеристику математично досить просто, причому для всіх частот, для яких вхідний сигнал можна вважати білим шумом.

В багатьох генераторах випадкових чисел (Як програмних, так і апаратних) білий шум використовується для генерування випадкових чисел і випадкових послідовностей.

В операційній системі Linux консольна команда speaker-test , Яка генерує білий або рожевий шум , Використовується для перевірки навушників / колонок.

Вектор випадкових чисел [ правити | правити код ]

Вектор випадкових чисел w {\ displaystyle \ mathbf {w}} є послідовністю відліків білого шуму, коли його середнє значення μ w {\ displaystyle \ mu _ {w}} і автокорреляционная матриця R w w {\ displaystyle R_ {ww}} задовольняють наступним равенствам:

μ w = E {w} = 0 {\ displaystyle \ mu _ {w} = \ mathbb {E} \ {\ mathbf {w} \} = 0} R ww = E {ww T} = σ 2 I {\ displaystyle R_ {ww} = \ mathbb {E} \ {\ mathbf {w} \ mathbf {w} ^ {T} \} = \ sigma ^ {2} \ mathbf {I}}

Тобто, це вектор випадкових чисел з нульовим середнім значенням, автокореляційна матриця якого є діагональну матрицю з дисперсиями по головній діагоналі.

Білий випадковий процес (білий шум) [ правити | правити код ]

Безперервний у часі випадковий процес w (t) {\ displaystyle w (t)} , Де t ∈ R {\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}} , Є білим шумом тоді і тільки тоді, коли його математичне очікування і автокореляційна функція задовольняють наступним равенствам відповідно:

μ w (t) = E {w (t)} = 0 {\ displaystyle \ mu _ {w} (t) = \ mathbb {E} \ {w (t) \} = 0} R ww (t 1, t 2) = E {w (t 1) w (t 2)} = σ 2 δ (t 1 - t 2) {\ displaystyle R_ {ww} (t_ {1}, t_ {2 }) = \ mathbb {E} \ {w (t_ {1}) w (t_ {2}) \} = \ sigma ^ {2} \ delta (t_ {1} -t_ {2})} .

Якщо величина σ 2 {\ displaystyle \ sigma ^ {2}} не залежить від часу, то випадковий процес є стаціонарним білим шумом, якщо залежить від часу - нестаціонарним білим шумом [2] .

В інших позначеннях, ближчих радіофізики вітчизняної школи:

⟨W (t)⟩ = 0 {\ displaystyle \ langle w (t) \ rangle = 0 {\ frac {} {}}} B ww (t 1, t 2) ≡ ⟨[w (t 1) - ⟨w (t 1)⟩] [w (t 2) - ⟨w (t 2)⟩]⟩ = ⟨w (t 1) w (t 2)⟩ = σ w 2 δ (t 1 - t 2) {\ displaystyle B_ {ww} (t_ {1}, t_ {2}) \ equiv \ langle \, [w (t_ {1}) - \ langle w (t_ {1}) \ rangle] \, [w (t_ {2}) - \ langle w (t_ {2}) \ rangle] \, \ rangle = \ langle \, w (t_ {1} ) w (t_ {2}) \, \ rangle = \ sigma _ {w} ^ {2} \ delta (t_ {1} -t_ {2})} .

Тобто, це випадковий процес з нульовим математичним очікуванням, має автокорелляціонную функцію , що є дельта-функцією Дірака . Така автокореляційна функція передбачає наступну спектральну щільність потужності :

S w w (ω) = σ w 2 {\ displaystyle S_ {ww} (\ omega) = \ sigma _ {w} ^ {2}}

так як перетворення Фур'є дельта-функції дорівнює одиниці на всіх частотах. З огляду на те, що спектральна щільність потужності однакова на всіх частотах, білий шум і отримав свою назву (по аналогії з частотним спектром білого світла).

1. ↑ Вікіпедія
2. ↑ Вентцель Е. С. , Овчаров Л. А. Теорія випадкових процесів і її інженерні додатки. - М., Наука, 1991. - c. 274