геометрія Рімана (Еліптична геометрія) - одна з трьох «великих геометрій» ( Евкліда , Лобачевського і Рімана). Якщо геометрія Евкліда реалізується на поверхнях з постійною нульовою гауссовой кривизною , Лобачевського - з постійною негативною, то геометрія Рімана реалізується на поверхнях з постійною позитивною гаусом кривизною , Тобто на сферах . Історично геометрія Рімана з'явилася пізніше двох інших геометрій (в 1854 р). В геометрії Рімана пряма визначається двома точками, площина - трьома, дві площини перетинаються по прямій і т.д., але через дану точку можна провести до прямої жодної паралельної. В геометрії Рімана, як і в сферичної геометрії, справедливим є твердження: сума кутів трикутника більше двох прямих, має місце формула $ \, \ Sigma = \ pi + {S} / {R ^ 2}, $ де $ \, \ Sigma $ - сума кутів трикутника, $ \, R $ - радіус сфери, на якій реалізована геометрія. Ототожнення протилежних точок сфери в геометрії Рімана Геометрія Рімана схожа на сферичну геометрію , Але відрізняється тим, що будь-які дві «прямі» мають не дві, як в сферичної, а тільки одну точку перетину. Тому іноді геометрією Рімана називають геометрію на сфері, в якій протилежні точки ототожнені; таким чином зі сфери виходить проективна площину . Саме, розглянемо сферу $ \, S $ з центром в точці $ \, O $ в тривимірному просторі $ \, E $. Кожна точка $ A \ in S $ разом з центром сфери $ \, O $ визначає деяку пряму $ l \ subset E $, тобто деяку точку $ \, A_ * $ проективної площині $ \, \ Pi $. Зіставлення $ A \ to A_ * $ визначає відображення $ S \ to \ Pi $, великі кола на $ \, S $ (прямі в сферичної геометрії) переходять в прямі на проективної площині $ \, \ Pi $, при цьому в одну точку $ A _ * \ in \ Pi $ переходять рівно дві точки сфери: разом з точкою $ A \ in S $ і діаметрально протилежна їй точка $ A '\ in S $ (див. малюнок). Евклідові руху простору $ \, E $, що переводять сферу $ \, S $ в себе, задають деякі певні перетворення проективної площині $ \, \ Pi $, які є рухами геометрії Рімана. В геометрії Рімана будь-які прямі перетинаються, оскільки це вірно для проективної площині, і таким чином, в ній немає паралельних прямих. Геометрія Рімана не є абсолютною геометрією . Зокрема, в ній немає природного поняття «точка C лежить між точками A і B», яке використовується в аксіоматиці абсолютної геометрії. Дійсно, на пряму проективної площині $ \, \ Pi $ відображається велике коло на сфері $ \, S $, причому дві діаметрально протилежні точки сфери $ \, A $ і $ \, A '$ переходять в одну точку $ A_ * \ in \ Pi $. Аналогічно, точки $ \, B, B '$ переходять в одну точку $ B_ * \ in \ Pi $ і точки $ \, C, C' $ переходять в одну точку $ C_ * \ in \ Pi $. Таким чином, з рівною підставою можна вважати, що точка $ \, C_ * $ лежить між $ \, A_ * $ і $ \, B_ * $ і що вона не лежить між ними (див. Малюнок).
геометрія Рімана
Реклама
Панель управления
