- Доказ теореми синусів:
- Доказ теореми синусів за підручником Погорєлова:
- Доказ другій частині теореми синусів:
Перша частина теореми: сторони довільного трикутника пропорційний синусам протилежних кутів, тобто: 
Друга частина теореми: кожна дріб дорівнює діаметру кола, описаного навколо даного трикутника, тобто: 
.
коментар репетитора з математики : Використання другої частини теореми синусів закладається мало не в кожній другій конкурсній задачі на коло. Чому? Справа в тому, що рівність 
дозволяє знаходити радіус кола маючи в наявності тільки два елементи трикутника. Це дуже часто використовують укладачі сильних завдань, які спеціально так підбирають умова, щоб ніякі інші елементи трикутника (і всього малюнка) не знаходились би вообше! «Картинка» при цьому буде плавитися. Ця обставина сильно ускладнює роботу на іспиті, бо не дає можливість діяти в обхід закладеному властивості.
Доказ теореми синусів:
за підручником Атанасян
Доведемо, що для будь-якого трикутника зі сторонами a, b, c і протилежними кутами A, B і С виконується рівність: 
.
Проведемо висоту BH з вершини В. Можливі два випадки:
1) 
Точка H лежить на боці AC (це можливо коли 
і 
- гострі).
За визначенням синуса гострого кута в прямокутному трикутнику ABH запишемо 
Аналогічно в трикутнику CBH маємо 
. Прирівнюючи вирази для BH один до одного отримаємо: 
2) 
Нехай H лежить на продовженні сторони AC (наприклад зліва від А). Це станеться, якщо 
- тупий. Аналогічно за визначенням синуса гострого кута А в трикутнику ABH запишемо рівність 
, Але так як синуси суміжних кутів рівні, то замінивши в цій рівності 
на 
, отримаємо 
як і в першому випадку. Тому незалежно від величин кутів А і С рівність 
вірне.
Після поділу обох його частин на 
отримаємо 
. Аналогічно доводиться рівність другої пари дробів 
Доказ теореми синусів за підручником Погорєлова:
Застосуємо формулу площі трикутника для двох кутів A і C: 
Після прирівнювання правих частин і скорочення на 
отримаємо теж саме рівність , Як і в доведенні першим способом. З нього тим же шляхом отримуємо рівність дробів.
Доказ другій частині теореми синусів:
Наведемо близько даного трикутника коло і через В проведемо її діаметр BD. Так як кути D і C спираються на одну дугу, то вони рівні (наслідок з теореми про вписаних кутах). тоді 
. Застосуємо в трикутнику ABD визначення синуса кута D: 
Що й потрібно було довести.
Завдання на другу частину теореми синусів:
1) У коло радіуса 15 вписана трапеція. Довжини діагоналі і висоти трапеції відповідно дорівнюють 20 і 6. Знайти бічну сторону.
2) Радіус окружність, описаного навколо трапеції, дорівнює 25, а косинус її тупого кута дорівнює -0,28 (мінус !!!). Діагональ трапеції утворює з основою кут 
. Знайти висоту трапеції.
3) У коло радіуса 10 вписана трапеція. Довжини діагоналі і середньої лінії трапеції відповідно дорівнюють 15 і 12. Знайти довжину бічної сторони трапеції.
4) Олімпіада в Фінансової академії 2009р. Хорди окружності перетинаються в точці Q. Відомо, що 
а радіус кола дорівнює 4 см. Знайдіть довжину хорди PN. Олімпіада в Фінансової академії 2009р.
5) В трикутнику PST 
. Навколо точки перетину його биссектрис і вершин P і T описана окружність з радіусом 8 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника PST (авторська завдання).
Детально розібрати теорему синусів і отримати необхідну практику її використання в задачах вам завжди допоможе репетитор з математики . Її планове шкільне вивчення відбувається в курсі геометрії 9 класу в темі рішення трикутників (за всіма програмами). Якщо вам потрібна підготовка до ЄДІ з математики для складання іспиту не менше ніж на 70 балів - доведеться тренуватися у вирішенні міцних планиметрических завдань з номерів С4. У них теорему синусів часто застосовують до вписаним трикутниках з огляду на співвідношення . Пам'ятайте про це!
З повагою, Колпаков Олександр Миколайович,
репетитор з математики
