Гіперболічні трикутники максимальної площі
з двома заданим сторонами
Алексєєва Євгенія. ГОУ Ліцей «Друга школа», м.Москва
Науковий керівник: Бібіков П.В., учитель Ліцею «Друга школа»
Секція «Математика»
Геометрія Лобачевського є дуже вдалим об'єктом для дослідження. Це обумовлено, по-перше, наочністю і природністю завдань, а по-друге, парадоксальністю результатів. У той же час геометрія Лобачевського є важливою частиною математики і активно використовується в самих різних її областях.
Найбільш природним способом отримання нових результатів є пошук аналогій різних тверджень з геометрії Евкліда. Найчастіше аналог навіть елементарної задачі геометрії Евкліда виявляється далеко не тривіальним в геометрії Лобачевського. У той же час отримані результати виявляються гарними і цікавими. В першу чергу це відноситься до питань, пов'язаних з площею трикутника, оскільки в геометрії Евкліда площа трикутника обчислюється через довжини сторін цього трикутника, а в геометрії Лобачевського - через заходи його кутів, тобто площі в цих геометрії істотно відрізняються один від одного.
Метою даної роботи є рішення наступного завдання: яким буде трикутник максимальної площі з двома заданими сторонами, і якою буде ця площа? Очевидно, що в геометрії Евкліда шуканий трикутник буде прямокутним. В роботі дається відповідь на питання, яким буде відповідний трикутник (який в подальшому називається трикутником максимальної площі) в геометрії Лобачевського.
Все розгляду зручно проводити в одній з моделей геометрії Лобачевського. Виявляється, що одна і та ж завдання може красиво вирішуватися в одній моделі і мати дуже громіздке рішення в інший. Тому правильний вибір моделі геометрії Лобачевського дозволяє істотно спростити вирішення тієї чи іншої задачі.
Для вирішення завдання про гіперболічному трикутнику максимальної площі використовується модель Пуанкаре в колі геометрії Лобачевського і її властивості. Ключовим у вирішенні є наступний результат.
Як видно з таблиці, аналогом евклидова прямокутного трикутника в геометрії Лобачевського слід вважати саме трикутник максимальної площі.
Конструкція гіперболічного трикутника максимальної площі є фундаментальною і може бути використана при вирішенні інших екстремальних задач геометрії Лобачевського. Як приклад в роботі вирішується аналог изопериметрической завдання.
Теорема. На площині Лобачевського фігурою найбільшою площі при заданому периметрі є коло.
Отримані в роботі результати є новими, що підтверджується думкою таких фахівців як Е. Б. Винберг, В. В. Личагіна, А. Б. Скопенко, і О. В. Шварцман.
Робота доповідалась на Міжнародній конференції «Геометрія в Астрахані - 2009» та на VIII молодіжній школі-конференції «Лобачевський читання - 2009». Робота переведена на англійську мову і викладена в arXiv (див. http://arxiv.org/abs/0911.5319v1 ). Також робота представлена до друку в журналі «Математичне просвітництво» і буде опублікована в 2010 р
література
1. Єфімов Н. В. Вища геометрія. М .: Физматлит, 2003.
2. Заславський А. А. Геометричні перетворення. М .: МЦНМО, 2003.
3. Норден А. П. Елементарне введення в геометрію Лобачевського. М .: ГІІТЛ, 1953.
4. Прасолов В. В. Геометрія Лобачевського. 3-е изд. М .: МЦНМО, 2004.
5. Протасов В. Ю. Максимуми і мінімуми в геометрії. М .: МЦНМО, 2005.
6. Шварцман О. В. Коментар до статті П. В. Бібікова і І. В. Ткаченко "Про трисекции і бисекции трикутника на площині Лобачевського". Мат. Просвітництво. Сер. 3, вип. 11, 2007. С. 127 - 130.
7. Schmidt E. Beweis der isoperimetrischen Eigenschaft der Kugel im hyperbolischen und sphrärischen Raum jeder Dimensionenzahl. Math. Z. 49, 1943. P. 1 - 109.
Метою даної роботи є рішення наступного завдання: яким буде трикутник максимальної площі з двома заданими сторонами, і якою буде ця площа?
