Zero To Hero

1. Давайте дійсно зрозуміємо, що таке негативні числа
2. Введення уявних чисел
3. Візуальне розуміння негативних і комплексних чисел
4. Пошук множин
5. Розуміння комплексних чисел
6. Реальний приклад: Обертання
7. Комплексні числа стали ближче?
8. Епілог: Але вони як і раніше досить дивні!

Комплексні числа завжди мене займали. Як і з поняттям експоненти , Більшість визначень підпадали під одну з двох категорій:

• це математична абстракція, все впирається в формули. Змиріться.
• це використовується в просунутій фізики, повірте. Просто дочекайтеся університету.

Який хороший спосіб привернути діток до математики! Сьогодні ми візьмемо цю тему штурмом, використовуючи наші улюблені інструменти:

• Будемо грунтуватися на зв'язках, а не на механічних формулах.
• Розглянемо комплексні числа як доповнення до нашої системи числення, такого ж, як нуль, дробові або негативні числа.
• Візуалізіруем ідеї в графіках, щоб краще зрозуміти суть, а не просто викладемо сухим текстом.

І наше секретна зброя: вивчення за аналогією. Ми доберемося до комплексних чисел, почавши з їхніх предків, негативних чисел. Ось вам невелике керівництво:

Поки що сенсу в цій таблиці мало, але нехай вона буде поруч. До кінця статті все стане на свої місця.

Давайте дійсно зрозуміємо, що таке негативні числа

Негативні числа не такі прості. Уявіть, що ви - європейський математик в XVIII столітті. У вас є 3 і 4, і ви можете написати 4 - 3 = 1. Все просто.

Але скільки буде 3 - 4? Що, власне, це означає? Як можна відняти 4 корови від 3? Як можна мати менше, ніж нічого?

Негативні числа розглядалися як повна нісенітниця, щось, що «кидало тінь на всю теорію рівнянь» ( Френсіс Масерес, 1759 ). Сьогодні було б повною нісенітницею думати про негативні числах, як про щось нелогічному і некорисні. Запитайте вашого вчителя, порушують чи негативні числа основи математики.

Що ж сталося? Ми винайшли теоретичне число, яке володіло корисними властивостями. Негативні числа не можна помацати або відчути, але вони добре описують певні зв'язки (як заборгованість, наприклад). Це дуже корисна вигадка.

Замість того, щоб сказати «Я повинен вам 30», і читати слова, щоб зрозуміти в плюсі ​​я або в мінусі, я можу просто записати «-30», і знати, що це означає. Якщо я зароблю гроші і оплачує свої борги (-30 + 100 = 70), я зможу легко записати цю транзакцію декількома символами. У мене залишиться +70.

Знаки плюса і мінуса автоматично фіксують напрям - вам не потрібно ціле речення, щоб описати зміни після кожної транзакції. Математика стала простіше, елегантніше. Стало не важливо, чи є негативні числа «відчутними» - у них є корисні властивості, і ми користувалися ними, поки вони міцно увійшли до нашого ужитку. Якщо хтось із ваших знайомих ще не зрозумів суть негативних чисел, тепер ви йому допоможете.

Але не будемо применшувати людські страждання: негативні числа були справжнім зрушенням у свідомості. Навіть Ейлер, геній, який відкрив число е і багато ще чого, не розумів негативні числа так само добре, як ми сьогодні. Вони розглядалися як «безглузді» результати обчислень.

Дивно вимагати від дітей, щоб вони спокійно розуміли ідеї, які колись бентежили навіть найкращих математиків.

Введення уявних чисел

З уявними числами та ж історія. Ми можемо вирішувати рівняння на кшталт цього цілими днями:

Відповідями будуть 3 і -3. Але уявімо, що якийсь розумник приписав сюди мінус:

Ну і ну. Таке питання змушує людей скорочуватиметься, перший раз бачачи його. Ви хочете обчислити квадратний корінь з числа, меншого, ніж нуль? Це немислимо! (Історично реально існували подібні питання, але мені зручніше представляти якогось безликого розумника, щоб не вганяти у фарбу вчених минулого).

Виглядає шалено, як свого часу виглядали і негативні числа, нуль і ірраціональні числа (не повторюються числа). У цьому питанні немає «реального» сенсу, правда?

Ні, не правда. Так звані «уявні числа» нормальні настільки ж, як і всі інші (або настільки ж ненормальні): вони є інструментом для опису світу. У тому ж дусі, як ми уявляємо, що -1, 0.3 і 0 «існують», давайте припустимо, що існує певна кількість i, де:

Іншими словами, ви примножуєте i на себе ж, щоб отримати -1. Що зараз відбувається?

Ну, спочатку у нас звичайно болить голова. Але, граючи в гру «Давайте уявимо, що i існує», ми дійсно робимо математику простіше і елегантніше. З'являються нові зв'язки, які ми з легкістю можемо описати.

Ви не повірите в i, як і ті старі математики-буркотун не вірили в існування -1. Всі нові, згортають мозок в трубочку поняття складні для сприйняття, і їхній зміст вимальовується не відразу, навіть для геніального Ейлера. Але, як показали нам негативні числа, дивні нові ідеї можуть бути надзвичайно корисними.

Я не люблю сам термін «уявні числа» - таке відчуття, що він був обраний спеціально, щоб образити почуття i. Число i таке ж нормальне, як і інші, але за ним закріпилася кличка «уявне», так що ми теж будемо їй користуватися.

Візуальне розуміння негативних і комплексних чисел

Рівняння x ^ 2 = 9 насправді означає наступне:

або

Яке перетворення x, що застосовується двічі, перетворює 1 в 9?

Є дві відповіді: «x = 3» і «x = -3». Тобто, ви можете «масштабувати в» 3 рази або «масштабувати в 3 рази і перевернути» (перевертання або взяття зворотного результату - все це інтерпретації множення на негативну одиницю).

А тепер давайте подумаємо про зрівняння x ^ 2 = -1, яке можна записати так:

Яке перетворення x, що застосовується двічі, перетворює 1 в -1? Хм.

• Ми не можемо помножити двічі позитивне число, тому що результат буде позитивним.
• Ми не можемо помножити двічі негативне число, тому що результат знову буде позитивним.

А як щодо ... обертання! Звучить, звичайно, незвично, але що якщо уявити х як «поворот 90 градусів», тоді застосувавши х двічі, ми здійснимо поворот на 180 градусів на координатної осі, і 1 обернеться в -1!

Ось це так! І якщо ми ще трохи над цим поміркуємо, то ми можемо зробити два оберти в протилежному напрямку, і також перейти з 1 на -1. Це «негативне» обертання або множення на -i:

Якщо ми двічі помножимо на-i, то при першому множенні отримаємо -i з 1, а при другому -1 з -i. Так що насправді існує два квадратних кореня -1: i і -i.

Це досить круто! У нас є щось подібне до рішення, але що воно означає?

• i - це «нова уявна розмірність» для вимірювання числа
• i (або -i) - це те, чим «стають» числа при обертанні
• Множення на i - це обертання на 90 градусів проти годинникової стрілки
• Множення на -i - це обертання на 90 градусів за годинниковою стрілкою.
• Подвійне обертання в будь-якому з напрямків дає -1: воно знову повертає нас до «звичайної» розмірності позитивних і негативних чисел (вісь x).

Всі числа 2-мірні. Так, це важко прийняти, але древнім римлянам було б також важко прийняти десяткові дроби або ділення в стовпчик. (Як це так, між 1 і 2 є ще числа?). Виглядає дивно, як і будь-який новий спосіб мислити в математиці.

Ми запитали «Як перетворити 1 в -1 в два дії?» І знайшли відповідь: повернути 1 на 90 градусів двічі. Досить дивний, новий спосіб мислити в математиці. Але дуже корисний. (Між іншим, ця геометрична інтерпретація комплексних чисел з'явилася тільки через десятиліття після відкриття самого числа i).

Також, не забувайте, що прийняття оберти проти годинникової стрілки за позитивний результат - це суто людська умовність, і все могло б бути зовсім по-іншому.

Пошук множин

Давайте заглибимося трохи в деталі. При множенні негативних чисел (як -1), ви отримуєте безліч:

• 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1

Оскільки -1 не змінює розмір числа, а тільки знак, ви отримуєте одне і те ж число то зі знаком «+», то зі знаком «-». Для числа х у вас вийде:

Це дуже корисна думка. Число «х» може представляти хороші і погані тижні. Уявімо, що хороша тиждень змінює погану; це хороша тиждень; а якою буде 47-й тиждень?

-x означає, що тиждень видасться поганий. Бачите, як негативні числа «стежать за знаком» - ми можемо просто ввести (-1) ^ 47 в калькуляторі замість того, щоб вважати ( «Тиждень 1 хороша, тиждень 2 погана ... тиждень 3 хороша ...»). Речі, які постійно чергуються можна відмінно змоделювати, використовуючи негативні числа.

Добре, а що буде, якщо ми продовжимо множити на i?

Дуже смішно, давайте трохи це все спростимо:

Ось все той же представлено графічно:

Ми повторюємо цикл кожен 4-й поворот. У цьому безумовно є сенс, так? Будь-яка дитина скаже вам, що 4 повороту вліво - це все одно, що не обертатися зовсім. А тепер відірвіться від уявних чисел (i, i ^ 2) і подивіться на загальне безліч:

• X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y ...

Точно, як негативні числа моделюють дзеркальне відображення чисел, уявні числа можуть моделювати що завгодно, що обертається між двома вимірами «Х» та «Y». Або що завгодно з циклічною, кругової залежністю - є що-небудь на прикметі?

Розуміння комплексних чисел

Є ще одна деталь для розгляду: чи може число бути і «реальним», і «уявним»?

Навіть не сумнівайтеся. Хто сказав, що нам обов'язково потрібно повертати строго на 90 градусів? Якщо ми однією ногою станемо на «реальну» розмірність, а інший - на «уявну», то буде виглядати приблизно так:

Ми знаходимося на позначці в 45 градусів, де речова і уявна частини однакові, і саме число дорівнює «1 + i». Це як хот-дог, де є і кетчуп, і гірчиця - хто сказав, що потрібно обов'язково вибирати щось одне?

По суті, ми можемо вибрати будь-яку комбінацію і уявною частини і зробити з усього цього трикутник. Кут стає «кутом обертання». Комплексне число - це розумне назву для чисел, в яких є речова і уявна частини. Вони пишуться, як «a + bi», де:

• a - дійсна частина
• b - уявна частина

Не погано. Але залишається один останнє запитання: як «велике» комплексне число? Ми не можемо виміряти речову частину або уявну окремо, тому що ми упустимо загальну картину.

Давайте зробимо крок назад. Розмір негативного числа - це відстань від нуля:

Це інший спосіб знайти абсолютну величину. Але як виміряти обидва компонента на 90 градусах для комплексних чисел?

Це птах в небі ... або літак ... Піфагор поспішає на допомогу!

Ця теорема вискакує, де тільки можна, навіть в числах, придуманих через 2000 років після самої теореми. Так, ми робимо трикутник, і його гіпотенуза і буде дорівнює відстані від нуля:

Хоч виміряти комплексне число не так просто, як «просто опустити знак -", у комплексних чисел є дуже корисні застосування. Давайте розглянемо деякі з них.

Реальний приклад: Обертання

Ми не будемо чекати університетського курсу фізики, щоб попрактикуватися з комплексними числами. Ми займаємося цим уже сьогодні. Багато можна розповісти на тему множення комплексних чисел, але поки потрібно зрозуміти головне:

• Множення на комплексне число здійснює обертання на його кут

Давайте подивимося, як це працює. Уявіть, що я на човні, рухаюсь з курсом 3 одиниці на Схід кожні 4 одиниці на Північ. Я хочу змінити свій курс на 45 градусів проти годинникової стрілки. Яким буде мій новий курс?

Хтось може сказати «Це просто! Обчисліть синус, косинус, погуглити значення по тангенсу ... і тоді ... »Здається, я зламав свій калькулятор ...

Давайте підемо простішим шляхом: ми йдемо по курсу 3 + 4i (не важливо, який тут кут, нам все одно поки що) і хочемо повернутися на 45 градусів. Ну, 45 градусів це 1 + i (ідеальна діагональ). Так що ми можемо помножити наш курс на це число!

Ось у чому суть:

• Вихідний курс: 3 одиниці на Схід, 4 одиниці на Північ = 3 + 4i
• Обертання проти годинникової стрілки на 45 градусів = множення на 1 + i

При множенні ми отримуємо:

Наш новий орієнтир - 1 одиниця на Захід (-1 на Схід) і 7 одиниць на Північ, можете намалювати координати на графіку і дотримуватися їх.

Але! Ми знайшли відповідь за 10 секунд, без всяких синусів і косинусів. Не було векторів, матриць, відстеження, в якому квадраті ми знаходимося. Це була проста арифметика і трохи алгебри для приведення рівняння. Уявні числа відмінно справляються з обертанням!

Більш того, результат такого обчислення дуже корисний. У нас є курс (-1, 7) замість кута (atan (7 / -1) = 98.13, і відразу ясно, що ми у другому квадраті. Як, власне, ви планували намалювати і слідувати вказаним кутку? Використовуючи транспортир під рукою?

Ні, ви б конвертували кут в косинус і синус (-0.14 і 0.99), знайшли б приблизне співвідношення між ними (близько 1 до 7) і накидали б трикутник. І тут комплексні числа безсумнівно виграють - акуратно, блискавично, і без калькулятора!

Якщо ви схожі на мене, то це відкриття здасться вам карколомним. Якщо немає, боюся, що математика вас зовсім не запалює. Вже вибачте!

Тригонометрія хороша, але комплексні числа значно спрощують обчислення (на кшталт пошуку cos (a + b)). Це тільки маленький анонс; в наступних статтях я надам вам повне меню.

Ліричний відступ: деякі люди думають приблизно так: «Гей, ну не зручно ж мати курс Північ / Схід замість простого кута для проходження судна!»

Правда? Ну добре, подивіться на свою праву руку. Який кут між підставою вашого мізинця і кінчиком вказівного пальця? Удачи з вашим способом обчислення.

А можна просто відповісти «Ну, кінчик знаходиться на Х дюймів вправо і Y дюймів вгору» і з цим вже можна щось зробити.

Комплексні числа стали ближче?

Ми пронеслися смерчем по моїм базовим відкриттів в області комплексних чисел. Подивіться на найпершу ілюстрацію, тепер він повинен стати більш зрозумілим.

Є ще стільки всього цікавого в цих красивих, чудернацьких числах, але мій мозок вже втомився. Моя мета була проста:

• Переконати вас у тому, що комплексні числа тільки розглядалися як «божевілля», а на ділі вони можуть бути дуже корисними (точно як і негативні числа)
• Показати, як комплексні числа можуть спростити деякі завдання на зразок обертання.

Якщо я здаюся надто заклопотаним цією темою, то для цього є причина. Уявні числа роками були моєю нав'язливою ідеєю - брак розуміння мене дратував.

Зараз я нарешті дійшов до цього довгоочікуваного розуміння, і мені не терпілося поділитися з вами. Але мене як і раніше злить, що ви знайомитеся з цими чудовими, нескладними прийомами розуміння в блозі якогось божевільного сновиди, а не в класі на уроці математики. Ми душимо в собі питання і «пихкає» над незрозумілими речами, тому що не хочемо шукати, знаходити і ділитися чистими, абсолютно логічними поясненнями.

Але запалити свічку краще, ніж пробиратися крізь непроглядну темряву: ось мої думки, і я впевнений, що вогник запалає і в умах моїх читачів.

Епілог: Але вони як і раніше досить дивні!

Я знаю, вони і для мене все ще виглядають дивними. Я намагаюся мислити, як мислив перша людина, що відкрив нуль.

Нуль - це така дивна ідея, «щось» представляє «нічого», і це ніяк не могли зрозуміти в Стародавньому Римі. Те ж саме і з комплексними числами - це новий спосіб мислення. Але і нуль, і комплексні числа значно спрощують математику. Якби ми ніколи не впроваджували дивацтва на кшталт нових систем числення, ми б досі вважали все на пальцях.

Я повторюю цю аналогію, бо так легко почати думати, що комплексні числа «аномальних». Давайте бути відкритими до нововведень: в майбутньому люди будуть тільки жартувати над тим, як хтось аж до XXI століття не вірив в комплексні числа.

Переклад статті « A Visual, Intuitive Guide to Imaginary Numbers »